Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

Rút gọn dấu: \(-\left(-\dfrac{3}{4}\right) = +\dfrac{3}{4}\).

Đổi: \(0{,}25 = \dfrac{1}{4}\).

Quy đồng mẫu 12: \(-\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{-5 + 3 + 9}{12} = \dfrac{7}{12}\).

Đáp số: \(\dfrac{7}{12}\)

Lời giải:

Đổi: \(-1\dfrac{1}{5} = -\dfrac{6}{5}\)

Chia cho \(\dfrac{2}{7}\) là nhân với \(\dfrac{7}{2}\).

Dấu: hai thừa số âm (chẵn) nên tích dương.

Rút gọn chéo rồi nhân: trong \(\dfrac{6 \cdot 10 \cdot 7}{5 \cdot 21 \cdot 2}\), rút gọn 10 với 5 (còn 2 và 1), 7 với 21 (còn 1 và 3), 6 với 2 (còn 3 và 1):

\(\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{21} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 3 \cdot 1} = 2\).

Kiểm tra lại: làm từng bước, \(-\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{-10}{21} = \dfrac{60}{105} = \dfrac{4}{7}\)

Rồi \(\dfrac{4}{7} : \dfrac{2}{7} = 2\).

Đáp số: 2

Lời giải:

1. Bước 1

   Phần còn lại sau ngày 1: \(1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) kho.

2. Bước 2

   Ngày 2 bán: \(\dfrac{2}{3}\) của \(\dfrac{3}{4}\) kho, tức \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\) kho.

   Chữ "số còn lại" nên nhân với \(\dfrac{3}{4}\), không nhân với cả kho.

3. Bước 3

   Ngày 3 bán: \(1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) kho, ứng với 15 kg.

4. Bước 4

   Cả kho: \(15 : \dfrac{1}{4} = 15 \cdot 4 = 60\) (kg).

   Thử lại: ngày 1 bán \(\dfrac{1}{4} \cdot 60 = 15\) kg, còn 45 kg

   Ngày 2 bán \(\dfrac{2}{3} \cdot 45 = 30\) kg

   Ngày 3 bán \(45 - 30 = 15\) kg ✓.

Đáp số: 60 kg

Lời giải:

a) Nhóm mẫu 8 và mẫu 9:

\(\left[-\dfrac{3}{8} + \left(-\dfrac{5}{8}\right)\right] + \left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9}\right) + \dfrac{5}{6}\)

\(= (-1) + 1 + \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\).

b) Thừa số chung \(\dfrac{7}{6}\)

\(\dfrac{7}{6} \cdot \left(\dfrac{-5}{11} + \dfrac{-6}{11}\right) = \dfrac{7}{6} \cdot (-1) = -\dfrac{7}{6}\).

c) Chung số chia \(\dfrac{5}{6}\): gộp hai ngoặc, \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) + \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{4}\right) = 1 + 1 = 2\)

Rồi \(2 : \dfrac{5}{6} = 2 \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{12}{5}\).

d) So từng cặp số hạng (Hình 7): \(\dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{2}{5} = 2 \cdot \dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{2}{7} = 2 \cdot \dfrac{1}{7}\)

Nên mẫu \(= 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right) = 2 \cdot\) tử.

Tử \(= \dfrac{35 - 21 + 15}{105} = \dfrac{29}{105} \ne 0\).

Tử chia cho 2 lần chính nó nên \(P = \dfrac{1}{2}\)

Không cần quy đồng mẫu 105.

Đáp số: a) \(\dfrac{5}{6}\); b) \(-\dfrac{7}{6}\); c) \(\dfrac{12}{5}\); d) \(\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

a) \(x\) là số trừ: \(x = \dfrac{3}{5} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{12}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{17}{20}\).

Thử: \(\dfrac{12}{20} - \dfrac{17}{20} = -\dfrac{5}{20} = -\dfrac{1}{4}\) ✓.

b) \(2x - \dfrac{1}{2} = 0\) thì \(2x = \dfrac{1}{2}\)

\(x = \dfrac{1}{4}\)

Hoặc \(\dfrac{1}{3}x + 1 = 0\) thì \(\dfrac{1}{3}x = -1\)

\(x = -1 : \dfrac{1}{3} = -3\).

Thử: với \(x = \dfrac{1}{4}\), ngoặc đầu \(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\) ✓

Với \(x = -3\), ngoặc sau \(= -1 + 1 = 0\) ✓.

c) \(x\) là số chia:

\(x = \dfrac{5}{6} : \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)

\(= -\dfrac{15}{12} = -\dfrac{5}{4}\).

Thử: \(\dfrac{5}{6} : \left(-\dfrac{5}{4}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}\) ✓.

d) Bóc dần từ ngoài vào (Hình 8):

1. Bước 1

   Che cụm chứa \(x\). Coi cả cụm \(\dfrac{2}{3} : x\) là một ô "?": đề thành \(\dfrac{1}{2} - ? = \dfrac{5}{6}\).

   Ô "?" là số trừ: \(? = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{3}\).

2. Bước 2

   Mở ô. \(\dfrac{2}{3} : x = -\dfrac{1}{3}\)

   Trong đó \(x\) là số chia: \(x = \dfrac{2}{3} : \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3} \cdot (-3) = -2\).

3. Bước 3

   Thử lại. \(\dfrac{2}{3} : (-2) = -\dfrac{1}{3}\)

   Rồi \(\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{6}\) ✓.

Đáp số: a) \(x = \dfrac{17}{20}\); b) \(x = -3\) hoặc \(x = \dfrac{1}{4}\); c) \(x = -\dfrac{5}{4}\); d) \(x = -2\)

Lời giải:

Nhận ra hiệu: hai thừa số của mỗi mẫu hơn kém nhau 2, nhưng tử là 1.

Nhân và chia cho 2: \(S = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{2}{1 \cdot 3} + \dfrac{2}{3 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{2}{11 \cdot 13}\right)\).

Tách:

\(S = \dfrac{1}{2} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \ldots - \dfrac{1}{13}\right)\)

\(= \dfrac{1}{2} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{13}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{6}{13}\).

Đáp số: \(S = \dfrac{6}{13}\)

Lời giải:

Nhận ra tích: \(6 = 2 \cdot 3\)

\(12 = 3 \cdot 4\)

\(20 = 4 \cdot 5\)

\(30 = 5 \cdot 6\)

Hai thừa số liên tiếp, hiệu đều bằng 1.

Đưa dấu trừ ra ngoài ngoặc trước (dấu "−" trước ngoặc nên trong ngoặc toàn dấu "+"):

\(M = 1 - \left(\dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 6}\right)\)

\(= 1 - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\right) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

Đáp số: \(M = \dfrac{2}{3}\)

Lời giải:

Quan hệ: \(x + y = 3x - 3y\)

Nên \(y + 3y = 3x - x\)

Tức \(4y = 2x\)

\(x = 2y\).

Thương: \(x : y = 2y : y = 2\).

Vậy \(x + y = 2\)

Tức \(2y + y = 3y = 2\)

\(y = \dfrac{2}{3}\)

\(x = \dfrac{4}{3}\).

Thử lại: \(x + y = 2\)

\(3(x - y) = 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2\)

\(x : y = 2\) ✓.

Đáp số: \(x = \dfrac{4}{3}\), \(y = \dfrac{2}{3}\)