Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ — Lý thuyết trọng tâm

1Cộng, trừ hai số hữu tỉ Lớp 7

Phép tính	Cách làm
Cộng, trừ	Quy đồng trước, rồi cộng các tử; mẫu giữ nguyên. Vì chỉ cộng được những phần có cùng kích cỡ.
Nhân	Tử nhân tử, mẫu nhân mẫu, không cần quy đồng.

2Tính chất phép cộng và quy tắc dấu ngoặc Lớp 7

Ví dụ bỏ ngoặc (Hình 2):

\(\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\)

\(= \dfrac{6 - 4 + 3 - 2}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).

Ví dụ đặt ngoặc: gom hai số cùng mẫu vào ngoặc có dấu "−" đằng trước, dấu "−" của \(\dfrac{3}{5}\) thành "+" trong ngoặc:

\(\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{9} - \left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\right)\)

\(= \dfrac{7}{9} - 1 = -\dfrac{2}{9}\).

3Nhân, chia hai số hữu tỉ Lớp 7

Ví dụ nhân, rút gọn chéo trước: trong \(-\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{15}{8}\), tử 4 và mẫu 8 cùng chia hết cho 4; tử 15 và mẫu 9 cùng chia hết cho 3 (Hình 3):

\(-\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{15}{8} = -\dfrac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = -\dfrac{5}{6}\).

Nếu nhân luôn thì được \(-\dfrac{60}{72}\), số to và còn phải rút gọn: kết quả vẫn \(-\dfrac{5}{6}\) nhưng dễ tính sai hơn.

Ví dụ nghịch đảo: của \(-\dfrac{2}{3}\) là \(-\dfrac{3}{2}\); của \(0{,}4 = \dfrac{2}{5}\) là \(\dfrac{5}{2}\); của \(-1\dfrac{1}{4} = -\dfrac{5}{4}\) là \(-\dfrac{4}{5}\).

	Số đối	Số nghịch đảo
Kí hiệu	\(-x\)	\(\dfrac{1}{x}\) (\(x \ne 0\))
Đặc điểm	Tổng bằng 0: \(x + (-x) = 0\)	Tích bằng 1: \(x \cdot \dfrac{1}{x} = 1\)
Cách tìm	Đổi dấu	Giữ dấu, đảo tử và mẫu
Với \(-\dfrac{2}{3}\)	\(\dfrac{2}{3}\)	\(-\dfrac{3}{2}\)
Với 0	0	Không có

Ví dụ tự kiểm tra: \(\dfrac{-2}{5} : \dfrac{4}{15} = \dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{15}{4} = \dfrac{-30}{20} = -\dfrac{3}{2}\). Thử lại: \(-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{15} = -\dfrac{12}{30} = -\dfrac{2}{5}\) ✓.

4Tính hợp lý Lớp 7

"Tính hợp lý" (tính nhanh) là dùng các tính chất trên để tránh quy đồng cả dãy. Trước khi tính, hãy nhìn các mẫu và các thừa số: số nào đi với số nào cho kết quả tròn?

Cách 1. Đổi chỗ, nhóm các số hạng cùng mẫu (hoặc đối nhau)

\(-\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{4} + \left(-\dfrac{2}{7}\right) + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{10}\)

\(= \left[-\dfrac{5}{7} + \left(-\dfrac{2}{7}\right)\right] + \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{3}{10}\)

\(= (-1) + 1 + \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{10}\).

Cách 2. Đặt thừa số chung (tính chất phân phối)

\(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{7}{11} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{11}\)

\(= \dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{7}{11} + \dfrac{4}{11}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot 1 = \dfrac{5}{6}\).

Khi thừa số chung bị "giấu": trong \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{-2}{5} + \dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{5}\), thừa số \(\dfrac{-2}{5}\) đứng ở vị trí khác nhau, còn số hạng cuối \(-\dfrac{2}{5}\) chính là \(\dfrac{-2}{5} \cdot 1\):

\(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{-2}{5} + \dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{5}\)

\(= \dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{-2}{5} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{-2}{5} \cdot 1\)

\(= \dfrac{-2}{5} \cdot \left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} + 1\right) = \dfrac{-2}{5} \cdot 2 = -\dfrac{4}{5}\).

Mẹo: số hạng nào "đứng một mình" mà bằng thừa số chung thì viết thêm \(\cdot\, 1\); đừng quên số 1 này trong ngoặc.

Cách 3. Các thương có chung số chia Nâng cao

Vì chia cho \(c\) là nhân với \(\dfrac{1}{c}\), nên \(a : c + b : c = (a + b) : c\): chung số chia thì gộp các số bị chia rồi chia một lần. Ví dụ:

\(\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) : \dfrac{5}{6} + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{5}{6}\)

\(= \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}\right) : \dfrac{5}{6}\)

\(= \left[\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)\right] : \dfrac{5}{6}\)

\(= (1 - 1) : \dfrac{5}{6} = 0\).

Không gộp thì phải tính hai ngoặc (\(\dfrac{5}{12}\) và \(-\dfrac{5}{12}\)), chia từng cái cho \(\dfrac{5}{6}\) rồi mới cộng.

5Tích bằng 0 và tìm \(x\) Lớp 7

Tổng kết

Có cần đổi số thập phân sang phân số không?

Nếu tất cả là số thập phân thì tính trực tiếp. Nếu có cả phân số mà phân số đó không đổi gọn được ra số thập phân (như \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\)) thì đổi số thập phân sang phân số: \(0{,}25 = \dfrac{1}{4}\), \(0{,}875 = \dfrac{7}{8}\).

Số đối và số nghịch đảo khác nhau thế nào?

Số đối của \(x\) là \(-x\) (tổng bằng 0, đổi dấu). Số nghịch đảo của \(x \ne 0\) là \(\dfrac{1}{x}\) (tích bằng 1, giữ dấu, đảo tử và mẫu). Ví dụ với \(-\dfrac{2}{3}\): số đối \(\dfrac{2}{3}\), số nghịch đảo \(-\dfrac{3}{2}\).

Hỗn số âm như \(-1\dfrac{1}{4}\) đổi thế nào cho đúng?

\(-1\dfrac{1}{4} = -\left(1 + \dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{5}{4}\). Dấu trừ đứng trước cả hỗn số, không phải \(-1 + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{4}\).