Đa thức một biến — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) So với dạng "số nhân lũy thừa của biến": \(-4x^3\) là đơn thức, hệ số \(-4\), bậc 3.

\(x\) là đơn thức, hệ số 1, bậc 1.

\(7\) là đơn thức, hệ số 7, bậc 0.

Biểu thức \(x^2 + 1\) là tổng của hai đơn thức khác bậc, \(\dfrac{3}{x}\) có biến ở mẫu: hai biểu thức này không phải đơn thức.

b) Cùng bậc 2: \(3x^2 - 5x^2 + x^2 = (3 - 5 + 1)x^2 = -x^2\).

c) Nhân hệ số, cộng số mũ: \((-3x^2) \cdot (2x^3) = (-3 \cdot 2) \cdot x^{2 + 3} = -6x^5\).

Đáp số: a) \(-4x^3\); \(x\); \(7\); b) \(-x^2\); c) \(-6x^5\)

Lời giải:

Gom cùng bậc: \(G(x) = (-2x^4 + 2x^4) + (x^2 + 4x^2)\)

\(+ (5x - 3x) - 1\).

Cộng hệ số: nhóm bậc 4 bằng 0 nên mất đi.

Còn \(G(x) = 5x^2 + 2x - 1\) (lũy thừa giảm dần).

Lũy thừa tăng dần: \(G(x) = -1 + 2x + 5x^2\).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): đa thức ban đầu bằng \(5 - 2 + 1 - 3 + 2 - 1 + 4 = 6\), đa thức thu gọn bằng \(5 + 2 - 1 = 6\) ✓).

Đáp số: \(G(x) = 5x^2 + 2x - 1\) \(= -1 + 2x + 5x^2\)

Lời giải:

a) Thu gọn trước: theo Ví dụ 2, \(G(x) = 5x^2 + 2x - 1\).

Bậc 2, hệ số cao nhất 5, hệ số tự do \(-1\).

b) Sắp xếp: \(H(x) = 2x^3 - x + 3\).

Bậc 3, hệ số cao nhất 2, hệ số tự do 3.

Đa thức không có hạng tử chứa \(x^2\) nên hệ số của \(x^2\) bằng 0.

Đáp số: a) bậc 2; 5; \(-1\); b) bậc 3; 2; 3; hệ số của \(x^2\) là 0

Lời giải:

a) Tại \(x = 0\): mọi hạng tử chứa \(x\) đều bằng 0 nên \(F(0) = 6\) (chính là hệ số tự do).

Tại \(x = -1\): \(F(-1) = (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 + (-1) + 6\)

\(= -1 - 4 - 1 + 6 = 0\).

Tại \(x = 2\): \(F(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 + 6\)

\(= 8 - 16 + 2 + 6 = 0\).

b) Thay \(t = 4\): \(s(4) = 3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = 48 + 8 = 56\) (m).

Đáp số: a) \(F(0) = 6\); \(F(-1) = 0\); \(F(2) = 0\); b) 56 m

Lời giải:

a) Cộng trực tiếp: \(1 - 4 + 1 + 6 = 4\).

Cách khác: \(F(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4\).

Hai cách cho cùng kết quả, vì thay \(x = 1\) thì mỗi hạng tử chỉ còn lại hệ số của nó.

b) Dùng nhận xét trên: không cần nhân ra.

Tổng các hệ số bằng giá trị của đa thức tại \(x = 1\), tức là \((2 \cdot 1 - 3)^{100} = (-1)^{100} = 1\).

Đáp số: a) 4; b) 1

Lời giải:

a) Thay từng số (Hình 3): \(P(-2) = 4 - 2 - 2 = 0\)

\(P(0) = -2\)

\(P(1) = 1 + 1 - 2 = 0\).

Vậy \(-2\) và \(1\) là nghiệm, còn \(0\) không là nghiệm.

b) Cho bằng 0: \(2x + 9 = 0\) nên \(2x = -9\)

Suy ra \(x = -\dfrac{9}{2}\).

Tương tự \(7 - 2x = 0\) nên \(2x = 7\)

Suy ra \(x = \dfrac{7}{2}\).

c) Đặt thừa số chung (Hình 4): \(x^2 + 5x = x(x + 5)\).

Tích bằng 0 khi \(x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\).

Hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = -5\) (thử lại: \(0 + 0 = 0\) ✓ và \(25 - 25 = 0\) ✓).

d) Tích bằng 0: \(x + 1 = 0\) hoặc \(3x - 2 = 0\).

Hai nghiệm là \(x = -1\) và \(x = \dfrac{2}{3}\).

Đáp số: a) \(-2\) và \(1\); b) \(-\dfrac{9}{2}\) và \(\dfrac{7}{2}\); c) \(0\) và \(-5\); d) \(-1\) và \(\dfrac{2}{3}\)

Lời giải:

a) Thay \(x = 2\): \(2^2 + m \cdot 2 - 10 = 0\) nên \(2m - 6 = 0\)

Suy ra \(m = 3\) (thử lại: \(4 + 6 - 10 = 0\) ✓).

b) Đánh giá: với mọi \(x\) ta có \(x^2 \ge 0\) nên \(x^2 + 4 \ge 4 > 0\).

Đa thức không bao giờ bằng 0, nên không có nghiệm.

c) Thu gọn \(k(x)\): \(k(x) = x^2 + 3x - x^2 - 3x + 2 = 2\).

Giá trị luôn bằng 2, khác 0, nên \(k(x)\) không có nghiệm.

Kết luận câu b, c: câu b đa thức không có nghiệm

Câu c thì \(k(x)\) không có nghiệm, còn \(n(x)\) xét ngay dưới đây.

Thu gọn \(n(x)\): \(n(x) = 2x^2 - 2x - 2x^2 + 2x = 0\).

Đây là đa thức không: giá trị bằng 0 với mọi \(x\), nên mọi số đều là nghiệm.

d) Nhẩm tổng hệ số: \(2 - 7 + 5 = 0\).

Mà tổng các hệ số bằng giá trị của đa thức tại \(x = 1\), nên \(x = 1\) là một nghiệm.

e) Dùng \(f(0)\): \(f(0) = b\) nên \(b = -3\).

Từ \(f(2) = 1\) có \(2a + b = 1\) nên \(2a = 4\)

Suy ra \(a = 2\).

Vậy \(f(x) = 2x - 3\) (thử lại: \(f(2) = 4 - 3 = 1\) ✓).

f) Chọn \(x = 1\): vế trái bằng \(0 \cdot P(2) = 0\)

Vế phải bằng \(4 \cdot P(1)\).

Vậy \(4 \cdot P(1) = 0\) nên \(P(1) = 0\).

Chọn \(x = -3\): vế phải bằng \(0 \cdot P(-3) = 0\)

Vế trái bằng \(-4 \cdot P(-2)\).

Vậy \(P(-2) = 0\).

Đa thức có ít nhất hai nghiệm là \(1\) và \(-2\).

Đáp số: a) \(m = 3\); d) \(x = 1\); e) \(f(x) = 2x - 3\); f) \(1\) và \(-2\)