Đa thức một biến — Lý thuyết trọng tâm

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến.

• Hệ số: số thực đó. Bậc: số mũ của lũy thừa của biến. Đơn thức \(-4x^3\) có hệ số \(-4\), bậc 3.
• Không ghi hệ số 1, số mũ 1: \(x^2\) có hệ số 1; \(-x\) có hệ số \(-1\), bậc 1.
• Một số khác 0 cũng là đơn thức, bậc 0: \(7 = 7x^0\).
• Số 0 gọi là đơn thức không, không có bậc.

• Cộng, trừ hai đơn thức cùng bậc: cộng, trừ các hệ số, giữ nguyên lũy thừa của biến: \(2x^3 + 3x^3 = 5x^3\).
• Nhân hai đơn thức (bậc tùy ý): nhân hai hệ số với nhau, nhân hai lũy thừa với nhau (cộng số mũ): \(2x^3 \cdot 3x^2 = 6x^5\).
• Hai đơn thức khác bậc không cộng gộp được thành một đơn thức: \(2x^3 + 3x^2\) để nguyên.

Vì sao?

Cộng: \(2x^3 + 3x^3\) là "2 lần \(x^3\) cộng 3 lần \(x^3\)", tất cả là 5 lần \(x^3\) (tính chất phân phối). Nhân: \(2x^3 \cdot 3x^2 = (2 \cdot 3) \cdot (x^3 \cdot x^2) = 6x^5\) (giao hoán, kết hợp và quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số).

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

• Hạng tử: mỗi đơn thức trong tổng. Đa thức \(4x^3 + x^2 + 2x - 6\) có bốn hạng tử: \(4x^3\); \(x^2\); \(2x\); \(-6\).
• Kí hiệu: dùng chữ in hoa kèm biến, như \(A(x)\), \(P(x)\), \(Q(y)\).
• Một đơn thức cũng là một đa thức (chỉ có một hạng tử).
• Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không.

• Thu gọn: cộng các hạng tử cùng bậc với nhau, cho tới khi không còn hai hạng tử nào cùng bậc.
• Sắp xếp: viết các hạng tử theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến. Thường dùng lũy thừa giảm.
• Dấu đi theo hạng tử: khi đổi chỗ, mỗi hạng tử mang theo dấu đứng trước nó.

Trong một đa thức đã thu gọn và khác đa thức không:

• Bậc của đa thức: bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số cao nhất: hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do: hệ số của hạng tử bậc 0 (hạng tử không chứa biến).
• Lũy thừa vắng mặt có hệ số bằng 0: trong \(2x^4 - 3x^2 + x - 5\), hệ số của \(x^3\) là 0 (Hình 2).
• Đa thức không không có bậc. Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

• Giá trị của đa thức: \(P(a)\) là giá trị của đa thức \(P(x)\) tại \(x = a\), tính bằng cách thay \(x\) bằng \(a\) như với mọi biểu thức đại số.
• Nghiệm: nếu tại \(x = a\) đa thức \(P(x)\) có giá trị bằng 0, tức là \(P(a) = 0\), thì ta nói \(a\) (hoặc \(x = a\)) là một nghiệm của đa thức đó.
• Số nghiệm: một đa thức có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm, hoặc không có nghiệm nào.
• Hệ số tự do bằng 0: đa thức chắc chắn có nghiệm \(x = 0\), vì mọi hạng tử còn lại đều chứa \(x\). Ví dụ \(5x^3 - 2x\) tại \(x = 0\) bằng 0.
• Lập đa thức có nghiệm cho trước: muốn đa thức nhận \(a\) làm nghiệm, có thể lấy \(x - a\) (hay nhân thêm các thừa số dạng \(x - b\)); muốn đa thức không có nghiệm, có thể lấy \(x^2 + 1\).