Đại lượng tỉ lệ nghịch — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) So với dạng \(xy = a\): \(y = \dfrac{15}{x}\) (hệ số 15) và \(xy = -4\) (hệ số \(-4\)) là tỉ lệ nghịch.

Công thức \(y = 15 - x\) là tổng không đổi, \(y = \dfrac{x}{15}\) là tỉ lệ thuận: không phải tỉ lệ nghịch.

b) Tính tích từng cột: \(1 \cdot 8 = 2 \cdot 4 = 4 \cdot 2 = 8 \cdot 1 = 8\).

Mọi tích bằng nhau nên \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\), và \(y = \dfrac{8}{x}\).

c) Tính tích từng cột: \(1 \cdot 6 = 6\)

\(2 \cdot 3 = 6\)

\(3 \cdot 1 = 3\) khác 6.

Có một cột khác nên hai đại lượng không tỉ lệ nghịch.

d) Viết công thức: gọi \(v\) (km/h) là vận tốc, \(t\) (giờ) là thời gian thì \(v \cdot t = 120\).

Tích không đổi nên vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau, hệ số tỉ lệ 120.

Thử: \(v = 30\) thì \(t = 4\)

\(v = 60\) thì \(t = 2\).

Đáp số: a) \(y = \dfrac{15}{x}\) và \(xy = -4\); b) có; c) không; d) có

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: \(a = x \cdot y = 5 \cdot 6 = 30\).

Công thức: \(y = \dfrac{30}{x}\).

b) Biết \(x\): \(y = \dfrac{30}{-10} = -3\).

c) Biết \(y\): \(x = \dfrac{30}{7{,}5} = 4\).

Kiểm tra lại: \(-10 \cdot (-3) = 30\) ✓

\(4 \cdot 7{,}5 = 30\) ✓.

Đáp số: a) \(a = 30\), \(y = \dfrac{30}{x}\); b) \(y = -3\); c) \(x = 4\)

Lời giải:

a) Tích bằng tích: \(x_2 y_2 = x_1 y_1\)

Tức \(7 \cdot y_2 = 2 \cdot 35\).

Suy ra \(y_2 = \dfrac{70}{7} = 10\).

Thử lại: \(2 \cdot 35 = 7 \cdot 10 = 70\) ✓.

b) Tích bằng tích: \(3y_1 = 5y_2\).

Đổi thành tỉ lệ thức: \(\dfrac{y_1}{5} = \dfrac{y_2}{3}\).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{y_1}{5} = \dfrac{y_2}{3} = \dfrac{y_1 + y_2}{5 + 3} = \dfrac{32}{8} = 4\).

Vậy \(y_1 = 20\)

\(y_2 = 12\).

Thử lại: \(3 \cdot 20 = 5 \cdot 12 = 60\) ✓.

c) Tích bằng tích: \(x_1 y_1 = x_2 y_2\)

Tức \(3x_1 = 2y_2\).

Rút ra \(y_2 = \dfrac{3}{2}x_1\).

Thay vào điều kiện: \(x_1 + \dfrac{3}{2}x_1 = 10\)

Tức \(\dfrac{5}{2}x_1 = 10\).

Vậy \(x_1 = 4\)

\(y_2 = 6\).

Thử lại: \(4 + 6 = 10\) ✓

\(4 \cdot 3 = 2 \cdot 6 = 12\) ✓.

Đáp số: a) \(y_2 = 10\); b) \(y_1 = 20\), \(y_2 = 12\); c) \(x_1 = 4\), \(y_2 = 6\)

Lời giải:

a) Tích bằng tích: gọi \(x\) (ngày) là thời gian 10 người làm xong.

Cùng một công việc nên số người và số ngày tỉ lệ nghịch: \(10 \cdot x = 8 \cdot 15\).

Suy ra \(x = \dfrac{120}{10} = 12\) (ngày).

b) Tích bằng tích: gọi \(v\) (km/h) là vận tốc cần tìm.

Cùng quãng đường nên vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch: \(v \cdot 3 = 45 \cdot 4\).

Suy ra \(v = \dfrac{180}{3} = 60\) (km/h).

c) Tìm thời gian mới: số máy lúc sau là \(18 + 6 = 24\).

Gọi \(x\) (ngày) là thời gian 24 máy cày xong: \(24 \cdot x = 18 \cdot 10\).

Suy ra \(x = \dfrac{180}{24} = 7{,}5\) (ngày).

Trả lời câu hỏi: sớm hơn \(10 - 7{,}5 = 2{,}5\) (ngày).

d) Tích bằng tích: gọi \(t_1, t_2\) (giờ) là thời gian đi và về.

Cùng quãng đường nên \(45t_1 = 36t_2\).

Chia hai vế cho 180: \(\dfrac{t_1}{4} = \dfrac{t_2}{5}\).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{t_1}{4} = \dfrac{t_2}{5} = \dfrac{t_1 + t_2}{4 + 5} = \dfrac{4{,}5}{9} = 0{,}5\).

Vậy \(t_1 = 2\)

\(t_2 = 2{,}5\).

Quãng đường: \(45 \cdot 2 = 90\) (km).

Thử lại: \(36 \cdot 2{,}5 = 90\) ✓.

Đáp số: a) 12 ngày; b) 60 km/h; c) 2,5 ngày; d) đi 2 giờ, về 2,5 giờ, AB dài 90 km

Lời giải:

Gọi \(a, b, c\) là số máy của ba đội.

Cùng diện tích nên số máy và số ngày tỉ lệ nghịch.

Ba tích bằng nhau: \(3a = 5b = 6c\).

Chia cho BCNN(3, 5, 6) = 30: \(\dfrac{3a}{30} = \dfrac{5b}{30} = \dfrac{6c}{30}\)

Tức \(\dfrac{a}{10} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{5}\) (Hình 4).

Dùng hiệu: \(\dfrac{a}{10} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{5} = \dfrac{a - b}{10 - 6} = \dfrac{4}{4} = 1\).

Vậy \(a = 10\)

\(b = 6\)

\(c = 5\).

Thử lại: \(3 \cdot 10 = 5 \cdot 6 = 6 \cdot 5 = 30\) ✓

\(10 - 6 = 4\) ✓.

Đáp số: 10 máy; 6 máy; 5 máy

Lời giải:

a) Đổi về tỉ lệ thuận: ba phần \(x, y, z\) tỉ lệ thuận với \(\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{6}\).

Nhân cả ba số với 12 được \(4; 3; 2\) (Hình 5).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2} = \dfrac{x + y + z}{4 + 3 + 2} = \dfrac{180}{9} = 20\).

Vậy \(x = 80\)

\(y = 60\)

\(z = 40\).

Thử lại: \(80 + 60 + 40 = 180\) ✓

\(3 \cdot 80 = 4 \cdot 60 = 6 \cdot 40 = 240\) ✓.

b) Đổi về tỉ lệ thuận: gọi hai số là \(x, y\) với \(2x = 7y\).

Chia hai vế cho 14: \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{2}\).

Số ứng với 7 phần là số lớn.

Trừ tử, trừ mẫu: \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x - y}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6\).

Vậy \(x = 42\)

\(y = 12\).

Thử lại: \(42 - 12 = 30\) ✓

\(2 \cdot 42 = 7 \cdot 12 = 84\) ✓.

Đáp số: a) 80; 60; 40; b) 42 và 12

Lời giải:

a) Tỉ lệ nghịch: gấp đôi số vòi thì thời gian chảy đầy bể giảm một nửa (tích số vòi và thời gian bằng lượng nước của bể, không đổi).

b) Tỉ lệ thuận: gấp đôi số lít thì số tiền gấp đôi (tỉ số tiền và số lít bằng giá một lít, không đổi).

c) Không thuộc loại nào: tiêu thêm thì còn lại ít đi, nhưng cái không đổi là tổng hai số tiền, không phải tích.

Đáp số: a) tỉ lệ nghịch; b) tỉ lệ thuận; c) không thuộc loại nào

Lời giải:

Viết công thức: \(y = \dfrac{20}{x}\) và \(z = \dfrac{5}{y}\).

Thay vào nhau: \(z = 5 : y = 5 : \dfrac{20}{x} = 5 \cdot \dfrac{x}{20} = \dfrac{1}{4}x\).

Vậy \(z\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{4}\).

Thay số: \(x = 8\) thì \(z = \dfrac{1}{4} \cdot 8 = 2\).

Kiểm tra lại: \(x = 8\) thì \(y = \dfrac{20}{8} = 2{,}5\)

Rồi \(z = \dfrac{5}{2{,}5} = 2\) ✓.

Đáp số: tỉ lệ thuận, hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{4}\); \(z = 2\)