Định lí và chứng minh định lí — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

GT: a, b phân biệt

\(a \perp c\)

\(b \perp c\).

KL: \(a \parallel b\).

b) Nếu một tia là tia phân giác của một góc thì nó tạo với hai cạnh của góc hai góc bằng nhau.

GT: Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

KL: \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy}\).

c) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng kia.

GT: \(a \parallel b\)

\(c \perp a\).

KL: \(c \perp b\).

Kết luận: GT là phần sau "Nếu", KL là phần sau "thì"

Lời giải:

Viết lại: "Nếu Om, On lần lượt là tia phân giác của hai góc đối đỉnh xOy và x'Oy' thì Om, On là hai tia đối nhau."

GT: \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x'Oy'}\) đối đỉnh

Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)

On là tia phân giác của \(\widehat{x'Oy'}\).

KL: Om, On đối nhau (\(\widehat{mOn} = 180^\circ\)).

Kết luận: GT gồm ba điều kiện, KL là \(\widehat{mOn} = 180^\circ\)

Lời giải:

Đặt \(\widehat{xOy} = \alpha\).

Khi đó \(\widehat{x'Oy'} = \alpha\) (đối đỉnh).

\(\widehat{mOy} = \dfrac{\alpha}{2}\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).

\(\widehat{x'On} = \dfrac{\alpha}{2}\) (On là tia phân giác của \(\widehat{x'Oy'}\)).

\(\widehat{yOx'} = 180^\circ - \alpha\) (kề bù với \(\widehat{xOy}\)).

Tia Oy nằm giữa hai tia Om, Ox'

Tia Ox' nằm giữa hai tia Oy, On, nên:

\(\widehat{mOn} = \dfrac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \dfrac{\alpha}{2} = 180^\circ\).

Vậy Om, On là hai tia đối nhau.

Thử bằng số (Hình 4): \(\alpha = 80^\circ\)

\(40^\circ + 100^\circ + 40^\circ = 180^\circ\) ✓.

Kết luận: \(\widehat{mOn} = 180^\circ\), Om và On là hai tia đối nhau

Lời giải:

Thứ tự đúng: (3) → (2) → (1).

(3) \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy}\) (Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\): giả thiết).

(2) \(\widehat{xOz'} = 180^\circ - \widehat{xOz}\) (kề bù: chung cạnh Ox, hai tia Oz, Oz' đối nhau).

Tương tự \(\widehat{yOz'} = 180^\circ - \widehat{zOy}\) (kề bù).

(1) Hai góc cùng bằng \(180^\circ\) trừ hai góc bằng nhau, nên \(\widehat{xOz'} = \widehat{yOz'}\) (từ bước (3) và (2)).

Thử bằng số: \(\widehat{xOy} = 80^\circ\)

\(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 40^\circ\)

\(\widehat{xOz'} = \widehat{yOz'} = 140^\circ\) ✓.

Kết luận: (3) → (2) → (1); lý do: giả thiết, kề bù, hai bước trước

Lời giải:

Bước (2) sai lý do.

Cm và DE không vuông góc với AB.

Lý do đúng: \(Cm \parallel AB\) và \(DE \parallel AB\), nên \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).

Các bước (1), (3), (4) đúng

Đáp số \(70^\circ\) đúng.

Tuy vậy một bước sai lý do vẫn là một bước sai.

Kết luận: Bước (2); sửa thành "cùng song song với AB"

Lời giải:

GT: \(a \parallel b\)

C cắt a tại A, cắt b tại B

\(\widehat{A_2}\) và \(\widehat{B_2}\) đồng vị

Am là tia phân giác của \(\widehat{A_2}\)

Bn là tia phân giác của \(\widehat{B_2}\).

KL: \(Am \parallel Bn\).

Chứng minh. \(\widehat{A_2} = \widehat{B_2}\) (\(a \parallel b\), hai góc đồng vị).

Góc giữa Am và c bằng \(\dfrac{\widehat{A_2}}{2}\) (Am là tia phân giác).

Góc giữa Bn và c bằng \(\dfrac{\widehat{B_2}}{2}\) (Bn là tia phân giác).

Hai góc này bằng nhau và ở vị trí đồng vị (cát tuyến c), nên \(Am \parallel Bn\) (dấu hiệu nhận biết).

Thử bằng số (Hình 5): \(\widehat{A_2} = \widehat{B_2} = 70^\circ\)

Hai nửa góc cùng bằng \(35^\circ\) ✓.

Kết luận: \(Am \parallel Bn\)

Lời giải:

Khẳng định đảo: "Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh."

Sai.

Phản ví dụ: tia Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy} = 80^\circ\) thì \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 40^\circ\)

Nhưng hai góc này chung cạnh Oz, không đối đỉnh.

Kết luận: khẳng định đảo sai

Lời giải:

a) Sai.

Phản ví dụ: hai góc \(60^\circ\) và \(120^\circ\) ở hai đỉnh khác nhau.

Tổng bằng \(180^\circ\) (bù nhau) nhưng không chung cạnh, nên không kề bù.

b) Sai.

Phản ví dụ: \(\widehat{xOy} = 80^\circ\)

Oz là tia phân giác, Oz' là tia đối của Oz.

Khi đó \(\widehat{xOz'} = \widehat{yOz'} = 140^\circ\) (Ví dụ 2b), nhưng Oz' không nằm giữa Ox, Oy nên không phải tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

c) Đúng: đây là nhận xét đã học ở Bài 10, nên là một định lí.

Kết luận: a) sai; b) sai; c) đúng

Lời giải:

a) Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB, nên \(\widehat{COB} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\).

Tia OD nằm giữa hai tia OA, OB, nên \(\widehat{AOD} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\).

Hai tia OC, OD cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ OB chứa A và \(30^\circ < 90^\circ\), nên tia OC nằm giữa hai tia OB, OD.

\(\widehat{COD} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

b) \(\widehat{DOt} = \widehat{tOC} = 60^\circ : 2 = 30^\circ\) (Ot là tia phân giác của \(\widehat{COD}\)).

Tia OD nằm giữa hai tia OA, Ot, nên \(\widehat{AOt} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\).

Tia OC nằm giữa hai tia Ot, OB, nên \(\widehat{tOB} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\).

Tia Ot nằm giữa hai tia OA, OB và \(\widehat{AOt} = \widehat{tOB} = 60^\circ\), nên Ot là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\).

Đáp số: a) \(\widehat{COD} = 60^\circ\); b) Ot là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

Lời giải:

\(\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = 100^\circ : 2 = 50^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).

\(\widehat{nOx} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xOm}\)).

\(\widehat{nOy} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{mOy}\)).

\(\widehat{nOx} = \widehat{nOy}\) nhưng hai góc này chung cạnh On, nên không đối đỉnh.

Đáp số: \(50^\circ\); \(130^\circ\); \(130^\circ\); không đối đỉnh

Lời giải:

a) \(\widehat{O_1} = \widehat{O_3}\) (đối đỉnh), nên mỗi góc bằng \(110^\circ : 2 = 55^\circ\).

\(\widehat{O_2} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\) (kề bù với \(\widehat{O_1}\))

\(\widehat{O_4} = \widehat{O_2} = 125^\circ\) (đối đỉnh).

b) \(\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^\circ\) (kề bù) và \(\widehat{O_2} - \widehat{O_1} = 30^\circ\).

\(\widehat{O_2} = (180^\circ + 30^\circ) : 2 = 105^\circ\)

\(\widehat{O_1} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).

\(\widehat{O_3} = \widehat{O_1} = 75^\circ\)

\(\widehat{O_4} = \widehat{O_2} = 105^\circ\) (đối đỉnh).

Kiểm tra lại: a) \(55^\circ + 125^\circ = 180^\circ\) ✓

B) \(105^\circ - 75^\circ = 30^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(55^\circ\), \(125^\circ\), \(55^\circ\), \(125^\circ\); b) \(75^\circ\), \(105^\circ\), \(75^\circ\), \(105^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{A'OC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) (kề bù với \(\widehat{AOC}\)).

\(\widehat{A'OB'} = 80^\circ : 2 = 40^\circ\) (OB' là tia phân giác của \(\widehat{A'OC}\)).

Gọi OB'' là tia đối của tia OB.

\(\widehat{A'OB''} = \widehat{AOB} = 40^\circ\) (đối đỉnh).

Hai tia OB', OB'' cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AA' chứa C và cùng tạo với OA' góc \(40^\circ\), nên chúng trùng nhau.

Vậy OB' là tia đối của OB.

Mà OA' là tia đối của OA, nên \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{A'OB'}\) là hai góc đối đỉnh (Hình 9).

Kết luận: \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{A'OB'}\) đối đỉnh

Lời giải:

Đặt \(\widehat{AOC} = \alpha\).

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB, nên \(\widehat{COB} = 90^\circ - \alpha\).

\(\widehat{xOA} = \widehat{AOC} = \alpha\) (OA là tia phân giác của \(\widehat{xOC}\)).

\(\widehat{BOy} = \widehat{COB} = 90^\circ - \alpha\) (OB là tia phân giác của \(\widehat{yOC}\)).

Các tia OA, OC, OB lần lượt nằm giữa, nên:

\(\widehat{xOy} = \alpha + \alpha + (90^\circ - \alpha) + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ\).

Vậy Ox, Oy là hai tia đối nhau.

Thử bằng số: \(\alpha = 20^\circ\)

\(20^\circ + 20^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ\) ✓.

Kết luận: \(\widehat{xOy} = 180^\circ\), Ox và Oy là hai tia đối nhau

Lời giải:

Tính góc của mọi tia với cùng tia gốc Ox:

\(\widehat{xOt} = 80^\circ : 2 = 40^\circ\) (Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\))

\(\widehat{xOh} = 90^\circ\) (\(Oh \perp Ox\)).

Tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Ok, nên \(\widehat{xOk} = \widehat{xOt} + \widehat{tOk} = 40^\circ + 90^\circ = 130^\circ\).

a) Tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oh (\(40^\circ < 90^\circ\)), nên \(\widehat{tOh} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

\(\widehat{kOx'} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xOk}\)).

b) Tia Oh nằm giữa hai tia Ox, Ok (\(90^\circ < 130^\circ\)), nên \(\widehat{hOk} = 130^\circ - 90^\circ = 40^\circ\).

Vậy \(\widehat{hOk} = \widehat{xOt} = 40^\circ\).

Kiểm tra lại: \(40^\circ + 50^\circ + 40^\circ + 50^\circ = 180^\circ\) ✓ (bốn góc liền nhau ghép thành góc bẹt).

Đáp số: a) \(\widehat{tOh} = 50^\circ\), \(\widehat{kOx'} = 50^\circ\); b) \(\widehat{hOk} = \widehat{xOt} = 40^\circ\)

Lời giải:

Đặt \(\widehat{AOB} = \alpha\) (\(\alpha < 90^\circ\)).

Tia OB nằm giữa hai tia OA, OA' (vì \(\alpha < 90^\circ\)), nên \(\widehat{BOA'} = 90^\circ - \alpha\).

Tia OA nằm giữa hai tia OB, OB', nên \(\widehat{AOB'} = 90^\circ - \alpha\).

\(\widehat{A'OB'} = \widehat{A'OB} + \widehat{BOA} + \widehat{AOB'}\)

\(= (90^\circ - \alpha) + \alpha + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ - \alpha\).

Vậy \(\widehat{AOB} + \widehat{A'OB'} = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ\).

Thử bằng số: \(\alpha = 40^\circ\)

\(\widehat{A'OB'} = 50^\circ + 40^\circ + 50^\circ = 140^\circ\)

\(40^\circ + 140^\circ = 180^\circ\) ✓.

Đáp số: \(\widehat{AOB} + \widehat{A'OB'} = 180^\circ\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang phải.

Khi đó \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).

\(\widehat{BCm} = \widehat{ABC} = 30^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), so le trong).

\(\widehat{mCE} = \widehat{CED} = 50^\circ\) (\(Cm \parallel DE\), so le trong).

Tia Cm nằm giữa hai tia CB, CE, nên \(\widehat{BCE} = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ\).

Đáp số: \(\widehat{BCE} = 80^\circ\)

Lời giải:

a) Gọi Ax là tia đối của tia AB.

\(\widehat{xAE} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\) (kề bù với \(\widehat{BAE}\)).

Tia Ax nằm giữa hai tia AE, AC, nên \(\widehat{xAC} = 115^\circ - 75^\circ = 40^\circ\).

\(\widehat{BAC} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xAC}\)).

\(\widehat{BAC} = \widehat{ACD} = 140^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AC), nên \(AB \parallel CD\).

b) \(d \perp AB\) và \(AB \parallel CD\), nên \(d \perp CD\) (vuông góc với một trong hai đường thẳng song song).

Kết luận: a) \(AB \parallel CD\); b) \(d \perp CD\)

Lời giải:

a) \(\widehat{xAz} = 76^\circ : 2 = 38^\circ\)

Khác \(0^\circ\) và \(180^\circ\), nên đường thẳng Az cắt x'x tại A.

Mà \(x'x \parallel y'y\), nên Az cũng cắt y'y (một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại).

b) \(\widehat{xAC} = \widehat{CAB} = 38^\circ\) (Az là tia phân giác của \(\widehat{xAB}\)).

\(x'x \parallel y'y\), cát tuyến AC: \(\widehat{ACB} = \widehat{xAC} = 38^\circ\) (so le trong).

Vậy \(\widehat{ACB} = \widehat{BAC} = 38^\circ\).

Đáp số: \(\widehat{ACB} = \widehat{BAC} = 38^\circ\)

Lời giải:

Gọi Bx là tia đối của tia BE.

a) \(\widehat{ABx} = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha\) (kề bù với \(\widehat{ABE}\)).

\(\widehat{ABx} = \widehat{DAB} = \alpha\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AB), nên \(AD \parallel BE\).

b) Tia Bx nằm giữa hai tia BA, BC, nên \(\widehat{xBC} = (\alpha + \beta) - \alpha = \beta\).

\(\widehat{xBC} = \widehat{BCF} = \beta\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến BC), nên \(CF \parallel BE\).

Thử bằng số: \(\alpha = 40^\circ\)

\(\beta = 25^\circ\)

\(\widehat{ABE} = 140^\circ\)

\(\widehat{ABx} = 40^\circ\)

\(\widehat{ABC} = 65^\circ\)

\(\widehat{xBC} = 25^\circ\) ✓.

Kết luận: \(AD \parallel BE\); \(CF \parallel BE\)

Lời giải:

a) \(\widehat{ABM} = \widehat{xBC}\) (Bx là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)).

\(MN \parallel AB\), cát tuyến BM: \(\widehat{BMN} = \widehat{ABM}\) (so le trong).

Vậy \(\widehat{xBC} = \widehat{BMN}\).

b) \(Ny \parallel Bx\), cát tuyến BC: \(\widehat{yNC} = \widehat{xBC}\) (đồng vị).

\(Ny \parallel BM\), cát tuyến MN: \(\widehat{MNy} = \widehat{BMN}\) (so le trong).

Theo câu a, \(\widehat{BMN} = \widehat{xBC}\)

Nên \(\widehat{MNy} = \widehat{yNC}\).

Tia Ny nằm trong \(\widehat{MNC}\) và \(\widehat{MNy} = \widehat{yNC}\), nên Ny là tia phân giác của \(\widehat{MNC}\).

Thử bằng số: \(\widehat{ABC} = 80^\circ\)

Các góc \(\widehat{ABM}\), \(\widehat{xBC}\), \(\widehat{BMN}\), \(\widehat{yNC}\), \(\widehat{MNy}\) đều bằng \(40^\circ\) ✓.

Kết luận: \(\widehat{xBC} = \widehat{BMN}\); Ny là tia phân giác của \(\widehat{MNC}\)

Lời giải:

\(a \parallel b\) nên hai góc so le trong bằng nhau: \(5x = 3x + 36^\circ\).

Suy ra \(2x = 36^\circ\)

\(x = 18^\circ\).

Mỗi góc bằng \(5 \cdot 18^\circ = 90^\circ\)

Nên \(c \perp a\) và \(c \perp b\).

Thử lại: \(3 \cdot 18^\circ + 36^\circ = 90^\circ\) ✓.

Đáp số: \(x = 18^\circ\); \(c \perp a\), \(c \perp b\)