Định lí và chứng minh định lí — Lý thuyết trọng tâm

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.

Định lí thường phát biểu dưới dạng "Nếu … thì …":

• Phần giữa "Nếu" và "thì" là giả thiết (GT): điều đã cho.
• Phần sau "thì" là kết luận (KL): điều phải chứng minh.

Ba việc khi gặp một định lí

• Viết lại dưới dạng "Nếu … thì …" (thêm chữ "nếu", "thì" khi đề không có).
• Vẽ hình, đặt tên điểm, tên góc.
• Ghi GT, KL bằng kí hiệu theo tên trên hình.

Ví dụ

"Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau." Viết lại: "Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau" (Hình 1).

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận.

Mỗi bước có dạng khẳng định (lý do). Lý do chỉ được là một trong các loại sau:

• giả thiết của định lí;
• một định nghĩa, tiên đề, tính chất hoặc định lí đã học;
• kết quả của một bước trước đó.

Cách tìm đường chứng minh

Đi ngược từ kết luận: "muốn có KL thì cần gì?", hỏi tiếp cho tới khi gặp điều có trong GT. Sau đó viết xuôi từ GT tới KL.

Muốn chứng tỏ khẳng định "Nếu P thì Q" là sai, chỉ cần chỉ ra một trường hợp:

• có P (thỏa mãn giả thiết),
• mà không có Q (không thỏa mãn kết luận).

Trường hợp đó gọi là một phản ví dụ.

Ví dụ

"Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh" là sai. Phản ví dụ: tia Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy} = 80^\circ\). Khi đó \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 40^\circ\) (có P), nhưng hai góc này chung cạnh Oz nên không đối đỉnh (không có Q) (Hình 3).

Đổi chỗ giả thiết và kết luận của một định lí, ta được một khẳng định mới. Nếu khẳng định mới cũng đúng thì nó gọi là định lí đảo của định lí ban đầu.

Vậy một định lí đúng chưa chắc có định lí đảo: phải xét lại từ đầu.