HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán của Bài 9. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự vẽ hình và làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
- Vẽ hình trước: đọc kĩ "cùng phía / khác phía", "nửa mặt phẳng không chứa…", "tia đối" rồi mới vẽ. Vẽ sai phía thì gọi sai tên cặp góc.
- Ghi lý do: mỗi bước tính góc có lý do trong ngoặc ("(kề bù với …)", "(đối đỉnh)", "(tia phân giác)").
- Kết luận đủ câu: "mà hai góc này ở vị trí so le trong (hoặc đồng vị), nên … ∥ …".
Kiến thức dùng trong bài ở bài "Lý thuyết trọng tâm". Cách đánh số góc: 1 dưới – phải, 2 trên – phải, 3 trên – trái, 4 dưới – trái (Hình 1). Nhãn Nâng cao là phần mở rộng ngoài sách.
Dạng 1. Nhận biết các cặp góc Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hỏi "cặp góc … ở vị trí nào", hoặc tả vị trí hai góc bằng lời (trên / dưới, bên trái / bên phải).
- Yêu cầu kể tên hoặc đếm số cặp so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
- Cho một cặp so le trong bằng nhau, hỏi các góc còn lại.
Hướng làm
- Bước 1
Xác định cát tuyến và hai đường thẳng bị cắt.
Hai góc của một cặp phải ở hai đỉnh khác nhau trên cát tuyến.
- Bước 2
Hỏi hai câu: cả hai góc có nằm ở miền trong (giữa hai đường thẳng) không? Chúng ở cùng phía hay hai phía của cát tuyến?
- Miền trong + hai phía: so le trong.
- Miền trong + cùng phía: trong cùng phía.
- Cùng vị trí ở hai đỉnh: đồng vị.
- Bước 3
Nếu có một cặp so le trong bằng nhau: 8 góc chỉ có hai số đo (Hình 2).
Góc kề bù với góc đã biết bằng \(180^\circ\) trừ góc đó
Góc đối đỉnh bằng góc đó.
Ví dụ 1
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A, B (a nằm trên b). Mỗi cặp góc sau ở vị trí nào?
a) Góc đỉnh A ở dưới a, bên trái c và góc đỉnh B ở trên b, bên phải c.
b) Góc đỉnh A ở trên a, bên trái c và góc đỉnh B ở trên b, bên trái c.
c) Góc đỉnh A ở dưới a, bên trái c và góc đỉnh B ở trên b, bên trái c.
d) Góc đỉnh A ở trên a, bên phải c và góc đỉnh B ở dưới b, bên trái c.
e) Có tất cả bao nhiêu cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía?
Lời giải:
a) Đó là \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_2}\).
Cả hai ở miền trong, ở hai phía của c: so le trong.
b) Đó là \(\widehat{A_3}\) và \(\widehat{B_3}\).
Cùng vị trí (trên – trái) ở hai đỉnh: đồng vị.
c) Đó là \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_3}\).
Cả hai ở miền trong, cùng bên trái c: trong cùng phía.
d) Đó là \(\widehat{A_2}\) và \(\widehat{B_4}\).
Cả hai ở miền ngoài, nên không thuộc loại nào trong ba loại trên.
e) So le trong: 2 cặp.
Đồng vị: 4 cặp (cùng số 1 – 1, 2 – 2, 3 – 3, 4 – 4).
Trong cùng phía: 2 cặp.
Đáp số: a) so le trong; b) đồng vị; c) trong cùng phía; d) không thuộc ba loại; e) 2 – 4 – 2
Ví dụ 1b: một cặp so le trong bằng nhau
Đường thẳng c cắt a, b tại A, B (đánh số góc như Hình 1). Biết \(\widehat{A_1} = \widehat{B_3} = 45^\circ\). Tính \(\widehat{A_4}\), \(\widehat{B_2}\), \(\widehat{B_1}\).
Lời giải:
\(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_3}\) là cặp so le trong bằng nhau.
\(\widehat{A_4} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\) (kề bù với \(\widehat{A_1}\)).
\(\widehat{B_2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\) (kề bù với \(\widehat{B_3}\)).
\(\widehat{B_1} = \widehat{B_3} = 45^\circ\) (đối đỉnh).
Kiểm tra lại: cặp so le trong còn lại \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 135^\circ\) ✓
Hai góc trong cùng phía \(\widehat{A_1} + \widehat{B_2} = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ\) ✓.
Đáp số: \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 135^\circ\); \(\widehat{B_1} = 45^\circ\)
Ví dụ 1c: biết tổng của hai góc so le trong
Đường thẳng c cắt a, b. Trong các góc tạo thành có một cặp so le trong bằng nhau và tổng của hai góc đó là \(150^\circ\).
a) Tính mỗi góc của cặp so le trong đó.
b) Tính góc trong cùng phía với một trong hai góc ấy.
Lời giải:
a) Gọi cặp đó là \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2}\).
Mỗi góc bằng \(150^\circ : 2 = 75^\circ\).
b) Góc trong cùng phía với \(\widehat{B_2}\) là \(\widehat{A_1}\).
\(\widehat{A_1} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\) (kề bù với \(\widehat{A_4}\)).
Kiểm tra lại: \(\widehat{A_1} + \widehat{B_2} = 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ\) ✓ (trong cùng phía bù nhau).
Đáp số: a) \(75^\circ\); b) \(105^\circ\)
\(\widehat{A_3}\) và \(\widehat{B_3}\) là so le trong vì "cùng số 3".
Cùng số (cùng vị trí) là đồng vị. Hơn nữa \(\widehat{A_3}\) nằm ở miền ngoài, nên không thể là góc "trong".
Một cặp so le trong cùng bằng \(75^\circ\), nên cặp so le trong còn lại cũng bằng \(75^\circ\).
Cặp còn lại bằng nhau, nhưng mỗi góc kề bù với một góc \(75^\circ\), nên bằng \(180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
Dạng 2. Quy về cặp so le trong hoặc đồng vị Lớp 7
Nhận biết
Cần chứng minh hai đường thẳng song song, và đề có một trong các dấu hiệu:
- Cho một cặp trong cùng phía có tổng \(180^\circ\).
- Cho hai góc ở vị trí khác (hai góc ngoài, góc tạo với tia đối).
- Cho tổng, hiệu, tỉ số của các góc: phải tính góc trước.
- Hỏi điều kiện nào đủ để kết luận song song.
Hướng làm
- Bước 1
Gọi tên vị trí của cặp góc đề cho.
Nếu số đo chưa có, tính trước (hai góc kề bù có tổng \(180^\circ\)).
- Bước 2
Dùng kề bù hoặc đối đỉnh để thay một góc bằng góc khác ở cùng đỉnh.
Ghi rõ kề bù với góc nào.
- Bước 3
Khi đã có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong (hoặc đồng vị), kết luận song song theo dấu hiệu.
Ví dụ 2
Đường thẳng c cắt a, b tại A, B; \(\widehat{A_1} = 115^\circ\), \(\widehat{B_2} = 65^\circ\). Chứng minh \(a \parallel b\).
Lời giải:
\(\widehat{A_4} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\) (kề bù với \(\widehat{A_1}\)).
Do đó \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 65^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên \(a \parallel b\) (Hình 6).
Kết luận: \(a \parallel b\)
Chú ý trình bày: "trong cùng phía bù nhau thì song song" là khẳng định đúng, nhưng không nằm trong dấu hiệu của sách. Khi làm bài tự luận, em thêm một dòng đổi bằng kề bù như trên rồi mới kết luận.
Ví dụ 2b: tính góc từ tổng và tỉ số rồi mới chứng minh
Đường thẳng MN cắt AB tại P và cắt CD tại Q (M, P, Q, N theo thứ tự đó; B và D cùng phía đối với MN). Biết \(\widehat{APM} + \widehat{MPB} + \widehat{PQD} = 240^\circ\) và \(\widehat{APM} = 2 \cdot \widehat{MPB}\). Chứng minh \(AB \parallel CD\).
Lời giải:
\(\widehat{APM} + \widehat{MPB} = 180^\circ\) (kề bù: chung cạnh PM, hai tia PA, PB đối nhau).
Suy ra \(\widehat{PQD} = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ\).
Vì \(\widehat{APM} = 2 \cdot \widehat{MPB}\)
Nên \(3 \cdot \widehat{MPB} = 180^\circ\)
Tức \(\widehat{MPB} = 60^\circ\).
Do đó \(\widehat{MPB} = \widehat{PQD} = 60^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị (cát tuyến MN), nên \(AB \parallel CD\).
Kiểm tra lại: \(\widehat{APM} = 120^\circ\)
\(120^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 240^\circ\) ✓.
Kết luận: \(AB \parallel CD\)
Ba góc có tổng \(240^\circ\), nên mỗi góc bằng \(240^\circ : 3 = 80^\circ\).
Đề không cho ba góc bằng nhau. Dùng điều chắc chắn có: \(\widehat{APM}\) và \(\widehat{MPB}\) kề bù, tổng \(180^\circ\); phần còn lại \(60^\circ\) là \(\widehat{PQD}\).
Ví dụ 2c: điều kiện nào đủ để kết luận song song?
Đường thẳng c cắt a, b tại A, B. Biết một cặp góc đồng vị bù nhau: \(\widehat{A_2} = 110^\circ\), \(\widehat{B_2} = 70^\circ\). Có dùng dấu hiệu để kết luận \(a \parallel b\) được không?
Lời giải:
\(\widehat{A_4} = \widehat{A_2} = 110^\circ\) (đối đỉnh).
Cặp so le trong \(\widehat{A_4}\), \(\widehat{B_2}\) là \(110^\circ\) và \(70^\circ\): không bằng nhau.
Cặp đồng vị \(\widehat{A_2}\), \(\widehat{B_2}\) cũng không bằng nhau.
Vậy không dùng được dấu hiệu.
Ghi nhớ: so le trong và đồng vị cần bằng nhau
Trong cùng phía cần bù nhau.
Cặp đồng vị (hoặc so le trong) bù nhau chỉ dùng được khi cả hai góc cùng bằng \(90^\circ\), vì lúc đó chúng cũng bằng nhau.
Kết luận: Không dùng được dấu hiệu để kết luận \(a \parallel b\)
\(\widehat{A_1} = 115^\circ\) và \(\widehat{B_2} = 65^\circ\) khác nhau, nên a không song song với b.
Hai góc này là cặp trong cùng phía, không so sánh trực tiếp được. Đổi \(\widehat{A_1}\) thành \(\widehat{A_4} = 65^\circ\) (kề bù) rồi mới so với \(\widehat{B_2}\).
Dạng 3. Chứng minh hai tia (đường thẳng) song song khi có số đo góc Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Một đường thẳng và các tia gốc nằm trên đường thẳng đó, kèm số đo góc giữa tia và đường thẳng.
- Cụm từ "cùng một nửa mặt phẳng", "phía trên / phía dưới", "nửa mặt phẳng không chứa…".
- Một góc và một điểm trên cạnh của góc, từ điểm đó kẻ thêm một tia.
Hướng làm
- Bước 1
Chọn cát tuyến: đường thẳng đi qua gốc của hai tia cần chứng minh song song.
- Bước 2
Xem hai tia ở cùng phía hay khác phía đối với cát tuyến:
- Cùng phía: tìm cặp đồng vị. Ở cả hai gốc cùng dùng một hướng của cát tuyến (ví dụ \(\widehat{xAa}\) và \(\widehat{xBb}\)).
- Khác phía: tìm cặp so le trong. Ở mỗi gốc dùng tia hướng về gốc kia (ví dụ \(\widehat{pMN}\) và \(\widehat{qNM}\)).
- Bước 3
Góc đề cho chưa đúng tia thì đổi bằng kề bù.
So sánh hai góc rồi kết luận (Hình 7).
Ví dụ 3
Trên đường thẳng x'x lấy hai điểm A, B (A bên trái B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ x'x vẽ tia Aa, Bb sao cho \(\widehat{xAa} = 40^\circ\), \(\widehat{x'Bb} = 140^\circ\). Chứng minh \(Aa \parallel Bb\).
Lời giải:
Hai tia cùng phía đối với x'x: tìm cặp đồng vị, cùng dùng tia hướng về x.
\(\widehat{xBb} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) (kề bù với \(\widehat{x'Bb}\)).
\(\widehat{xAa} = \widehat{xBb} = 40^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị (cát tuyến x'x), nên \(Aa \parallel Bb\).
Kết luận: \(Aa \parallel Bb\)
Ví dụ 3b: hai tia ở hai phía của cát tuyến
Trên đường thẳng aa' lấy hai điểm M, N (M bên trái N, tia Ma' chứa điểm N). Vẽ tia Mp ở phía trên aa' với \(\widehat{aMp} = 125^\circ\), tia Nq ở phía dưới aa' với \(\widehat{aNq} = 55^\circ\). Chứng minh \(Mp \parallel Nq\).
Lời giải:
Hai tia khác phía đối với aa': tìm cặp so le trong.
Ở M dùng tia Ma' (hướng về N), ở N dùng tia Na (hướng về M).
\(\widehat{pMa'} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\) (kề bù với \(\widehat{aMp}\)).
\(\widehat{pMa'} = \widehat{aNq} = 55^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến aa'), nên \(Mp \parallel Nq\).
Kết luận: \(Mp \parallel Nq\)
So sánh luôn \(\widehat{xAa} = 40^\circ\) với \(\widehat{x'Bb} = 140^\circ\): khác nhau nên "không song song".
Hai góc đề cho không cùng loại. Đổi \(\widehat{x'Bb}\) thành \(\widehat{xBb}\) (kề bù) mới so được.
Ví dụ 3c: ba tia song song từng đôi một
Trên đường thẳng x'x lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự từ trái sang phải. Tia Aa, Bb ở phía trên x'x, tia Cc ở phía dưới x'x. Biết \(\widehat{xAa} = 30^\circ\), \(\widehat{x'Bb} = 150^\circ\), \(\widehat{xCc} = 150^\circ\). Chứng minh ba đường thẳng chứa ba tia Aa, Bb, Cc song song với nhau từng đôi một.
Lời giải:
Aa và Bb (cùng phía): \(\widehat{xBb} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) (kề bù với \(\widehat{x'Bb}\)).
\(\widehat{xAa} = \widehat{xBb} = 30^\circ\)
Hai góc đồng vị, nên \(Aa \parallel Bb\).
Bb và Cc (khác phía): \(\widehat{x'Cc} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xCc}\)).
\(\widehat{xBb} = \widehat{x'Cc} = 30^\circ\)
Hai góc so le trong (tia Bx hướng về C, tia Cx' hướng về B), nên \(Bb \parallel Cc\).
Aa và Cc (khác phía): \(\widehat{xAa} = \widehat{x'Cc} = 30^\circ\)
Hai góc so le trong, nên \(Aa \parallel Cc\).
Nhận xét: ở Bài 9 chưa có tính chất "hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba" (Bài 10), nên em chứng minh đủ cả ba cặp.
Kết luận: \(Aa \parallel Bb\), \(Bb \parallel Cc\), \(Aa \parallel Cc\)
Ví dụ 3d: điểm trên cạnh của góc
Cho \(\widehat{xOy} = 40^\circ\). Trên tia Oy lấy điểm A (khác O). Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy không chứa tia Ox, kẻ tia Az sao cho \(\widehat{OAz} = 40^\circ\). Chứng minh \(Az \parallel Ox\).
Lời giải:
Cát tuyến là đường thẳng Oy.
Hai tia Ox, Az nằm khác phía đối với Oy.
\(\widehat{xOy}\) (ở O, dùng tia OA) và \(\widehat{OAz}\) (ở A, dùng tia AO) là hai góc ở vị trí so le trong.
\(\widehat{xOy} = \widehat{OAz} = 40^\circ\)
Nên \(Az \parallel Ox\) (Hình 8).
Kết luận: \(Az \parallel Ox\)
\(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{OAz}\) là cặp góc đồng vị bằng nhau, nên \(Az \parallel Ox\).
Ox và Az nằm khác phía đối với cát tuyến Oy, hai góc đều nằm giữa Ox và Az: đó là cặp so le trong. Gọi sai tên cặp góc thì lý do bị tính là sai.
Dạng 4. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hình có nhiều góc vuông, hoặc cụm từ "vuông góc với".
- Vật thật có các thanh cùng vuông góc với một thanh: bậc thang, song cửa, mép bàn.
- Hỏi "những đường thẳng nào song song với…" trong một hình có cả góc vuông lẫn số đo góc.
Hướng làm
- Bước 1
Chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với cùng một đường thẳng thứ ba (ghi rõ đường thẳng nào), rồi kết luận song song.
- Bước 2
Với đường thẳng không có góc vuông: tính góc bằng tia đối + kề bù + tia nằm giữa, rồi dùng cặp so le trong hoặc đồng vị (Dạng 3).
Ví dụ 4
Cho hình chữ nhật ABCD. Vì sao \(AB \parallel CD\)?
Lời giải:
Hình chữ nhật có bốn góc vuông, nên \(AB \perp AD\) và \(CD \perp AD\).
AB và CD phân biệt, cùng vuông góc với AD, nên \(AB \parallel CD\).
Kết luận: \(AB \parallel CD\) (cùng vuông góc với AD)
\(AB \perp AD\) và \(BC \perp CD\), nên \(AB \parallel CD\).
Hai đường thẳng phải vuông góc với cùng một đường thẳng thứ ba. Ở đây AD và CD là hai đường khác nhau, nên chưa kết luận được.
Ví dụ 4b: hình có cả góc vuông lẫn số đo góc
Cho hình vẽ (Hình 9):
Tia AB nằm ngang hướng sang phải; từ A kẻ đoạn AO đi xuống bên trái, \(\widehat{BAO} = 120^\circ\).
Tại O: tia OC nằm ngang hướng sang trái, đoạn OD thẳng đứng đi xuống, \(OC \perp OD\); \(\widehat{AOD} = 150^\circ\) (A và C nằm khác phía đối với đường thẳng OD).
Tại D: tia DE nằm ngang hướng sang phải, \(DE \perp OD\).
Những đường thẳng nào song song với OC? Vì sao?
Lời giải:
DE và OC: \(DE \perp OD\), \(OC \perp OD\).
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với OD, nên \(DE \parallel OC\).
AB và OC: vẽ tia OC' là tia đối của tia OC.
\(\widehat{C'OD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\) (kề bù với \(\widehat{COD}\)).
Hai tia OC', OA cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ OD không chứa C và \(90^\circ < 150^\circ\), nên tia OC' nằm giữa hai tia OD, OA.
\(\widehat{AOC'} = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).
\(\widehat{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (kề bù với \(\widehat{AOC'}\)).
\(\widehat{BAO} = \widehat{AOC} = 120^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AO), nên \(AB \parallel OC\).
Kết luận: \(DE \parallel OC\) và \(AB \parallel OC\)
\(\widehat{AOC} = 360^\circ - 150^\circ - 90^\circ = 120^\circ\) (tổng các góc quanh điểm O bằng \(360^\circ\)).
Kết quả trùng, nhưng "tổng các góc quanh một điểm" chưa được học nên không dùng làm lý do. Trình bày bằng tia đối OC', tia nằm giữa và kề bù như lời giải trên.
Dạng 5. Song song với tia phân giác Lớp 7
Nhận biết
Đề có cả hai dấu hiệu:
- Hai góc đã biết số đo (hoặc vừa chứng minh được quan hệ ở câu a).
- Tia phân giác của mỗi góc, và hỏi hai tia phân giác có song song không.
Hướng làm
- Bước 1
Tính hai góc lớn (nếu có tia đối thì dùng kề bù), rồi chia đôi (tính chất tia phân giác).
- Bước 2
Xem hai nửa góc có ở vị trí so le trong hoặc đồng vị không.
Nếu hai nửa góc nằm ngoài đoạn nối hai gốc thì đổi bằng kề bù trước.
- Bước 3
Chỉ ra cặp góc bằng nhau, nêu vị trí, kết luận song song.
Ví dụ 5
Cho \(\widehat{xOy} = 70^\circ\), A thuộc tia Ox. Kẻ tia At cùng phía với Oy so với Ox sao cho \(\widehat{xAt} = 70^\circ\) (Ax là phần tia Ox kể từ A).
a) Vì sao \(At \parallel Oy\)?
b) Om, An là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), \(\widehat{xAt}\). Vì sao \(Om \parallel An\)?
Lời giải:
a) \(\widehat{xOy} = \widehat{xAt} = 70^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị (cát tuyến Ox), nên \(At \parallel Oy\).
b) \(\widehat{xOm} = 70^\circ : 2 = 35^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).
\(\widehat{xAn} = 70^\circ : 2 = 35^\circ\) (An là tia phân giác của \(\widehat{xAt}\)).
\(\widehat{xOm} = \widehat{xAn} = 35^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, nên \(Om \parallel An\).
Kết luận: \(At \parallel Oy\); \(Om \parallel An\)
b) \(At \parallel Oy\) nên các tia phân giác cũng song song (không tính góc).
Phải tính hai nửa góc và chỉ ra cặp đồng vị (hoặc so le trong) bằng nhau.
Ví dụ 5b: hai nửa góc nằm ngoài đoạn nối hai gốc
Trên đường thẳng aa' lấy hai điểm M, N (M bên trái N). Vẽ tia Mp ở phía trên aa' với \(\widehat{aMp} = 100^\circ\), tia Nq ở phía dưới aa' với \(\widehat{a'Nq} = 100^\circ\). Gọi Mt là tia phân giác của \(\widehat{aMp}\), Nh là tia phân giác của \(\widehat{a'Nq}\). Chứng minh \(Mt \parallel Nh\).
Lời giải:
\(\widehat{aMt} = 100^\circ : 2 = 50^\circ\) (Mt là tia phân giác của \(\widehat{aMp}\)).
\(\widehat{a'Nh} = 100^\circ : 2 = 50^\circ\) (Nh là tia phân giác của \(\widehat{a'Nq}\)).
Hai góc này nằm ngoài đoạn MN, chưa phải cặp so le trong.
Đổi bằng kề bù:
\(\widehat{tMN} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{aMt}\)).
\(\widehat{hNM} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{a'Nh}\)).
\(\widehat{tMN} = \widehat{hNM} = 130^\circ\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong (Mt ở phía trên, Nh ở phía dưới aa'), nên \(Mt \parallel Nh\) (Hình 10).
Kết luận: \(Mt \parallel Nh\)
\(\widehat{aMt} = \widehat{a'Nh} = 50^\circ\), hai góc so le trong, nên \(Mt \parallel Nh\).
Hai góc đó nằm ngoài đoạn MN (so le ngoài), chưa dùng được dấu hiệu. Cặp so le trong là \(\widehat{tMN}\) và \(\widehat{hNM}\), cùng bằng \(130^\circ\).
Ví dụ 5c: có tia đối rồi mới tới tia phân giác
Cho \(\widehat{xOy} = 140^\circ\). Trên tia Ox lấy điểm A rồi kẻ tia Az nằm trong \(\widehat{xOy}\) sao cho \(\widehat{OAz} = 40^\circ\). Kẻ tia Az' là tia đối của tia Az.
a) Vì sao \(zz' \parallel Oy\)?
b) Gọi OM, AN lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{OAz'}\). Chứng minh \(AN \parallel OM\).
Lời giải:
a) \(\widehat{OAz'} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) (kề bù với \(\widehat{OAz}\)).
A thuộc tia Ox nên \(\widehat{AOy} = \widehat{xOy} = 140^\circ\).
Tia Az cùng phía với Oy đối với đường thẳng Ox, nên tia đối Az' khác phía với Oy.
Do đó \(\widehat{OAz'}\) và \(\widehat{AOy}\) ở vị trí so le trong (cát tuyến Ox).
\(\widehat{OAz'} = \widehat{AOy} = 140^\circ\)
Nên \(zz' \parallel Oy\).
b) \(\widehat{AOM} = 140^\circ : 2 = 70^\circ\) (OM là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).
\(\widehat{OAN} = 140^\circ : 2 = 70^\circ\) (AN là tia phân giác của \(\widehat{OAz'}\)).
OM cùng phía với Oy, AN cùng phía với Az' đối với Ox, nên \(\widehat{AOM}\) và \(\widehat{OAN}\) ở vị trí so le trong.
\(\widehat{AOM} = \widehat{OAN} = 70^\circ\)
Nên \(AN \parallel OM\).
Kết luận: \(zz' \parallel Oy\); \(AN \parallel OM\)
Dạng 6. Tìm số đo để hai đường thẳng song song Nâng cao
Nhận biết
Đề có cả hai dấu hiệu:
- Số đo góc viết theo ẩn, ví dụ \(2x + 15^\circ\).
- Hỏi "tìm \(x\) để … song song".
Hướng làm
- Bước 1
Xác định cặp góc cần dùng như Dạng 3: hai tia cùng phía thì dùng cặp đồng vị, khác phía thì dùng cặp so le trong.
- Bước 2
Góc đề cho chưa đúng tia thì đổi bằng kề bù: lấy \(180^\circ\) trừ cả biểu thức, nhớ đặt biểu thức trong ngoặc.
- Bước 3
Cho hai số đo bằng nhau, tìm \(x\) (quy tắc chuyển vế, Bài 4).
- Bước 4
Thử lại: thay \(x\) vào, các góc phải lớn hơn \(0^\circ\), nhỏ hơn \(180^\circ\) và cặp góc đã chọn bằng nhau.
Ví dụ 6
Trên đường thẳng x'x lấy hai điểm A, B (A bên trái B). Tìm \(x\) để \(Aa \parallel Bb\) trong mỗi trường hợp:
a) Aa, Bb cùng phía đối với x'x; \(\widehat{xAa} = 2x + 15^\circ\), \(\widehat{xBb} = 4x - 25^\circ\).
b) Aa, Bb cùng phía đối với x'x; \(\widehat{xAa} = 2x + 20^\circ\), \(\widehat{x'Bb} = 3x + 10^\circ\).
c) Aa ở phía trên, Bb ở phía dưới x'x; \(\widehat{xAa} = 4x - 20^\circ\), \(\widehat{x'Bb} = 2x + 30^\circ\).
Lời giải:
a) \(\widehat{xAa}\) và \(\widehat{xBb}\) ở vị trí đồng vị.
Để \(Aa \parallel Bb\) chỉ cần:
\(2x + 15^\circ = 4x - 25^\circ\)
Nên \(2x = 40^\circ\)
\(x = 20^\circ\).
Thử lại: \(2 \cdot 20^\circ + 15^\circ = 55^\circ\)
\(4 \cdot 20^\circ - 25^\circ = 55^\circ\) ✓.
b) Hai tia cùng phía: cần cặp đồng vị \(\widehat{xAa}\), \(\widehat{xBb}\).
\(\widehat{xBb} = 180^\circ - (3x + 10^\circ) = 170^\circ - 3x\) (kề bù với \(\widehat{x'Bb}\)).
Để \(Aa \parallel Bb\) chỉ cần \(2x + 20^\circ = 170^\circ - 3x\)
Nên \(5x = 150^\circ\)
\(x = 30^\circ\).
Thử lại: \(\widehat{xAa} = 80^\circ\)
\(\widehat{x'Bb} = 100^\circ\)
Nên \(\widehat{xBb} = 80^\circ\) ✓.
c) Hai tia khác phía: \(\widehat{xAa}\) (tia Ax hướng về B) và \(\widehat{x'Bb}\) (tia Bx' hướng về A) ở vị trí so le trong.
Để \(Aa \parallel Bb\) chỉ cần:
\(4x - 20^\circ = 2x + 30^\circ\)
Nên \(2x = 50^\circ\)
\(x = 25^\circ\).
Thử lại: \(4 \cdot 25^\circ - 20^\circ = 80^\circ\)
\(2 \cdot 25^\circ + 30^\circ = 80^\circ\) ✓.
Đáp số: a) \(x = 20^\circ\); b) \(x = 30^\circ\); c) \(x = 25^\circ\)
b) Cho \(2x + 20^\circ = 3x + 10^\circ\), được \(x = 10^\circ\).
\(\widehat{xAa}\) và \(\widehat{x'Bb}\) không phải cặp đồng vị. Đổi \(\widehat{x'Bb}\) thành \(\widehat{xBb}\) bằng kề bù rồi mới cho bằng nhau. Thử \(x = 10^\circ\): \(\widehat{xAa} = 40^\circ\), \(\widehat{xBb} = 140^\circ\), không bằng nhau.
a) Cho tổng hai góc đồng vị bằng \(180^\circ\).
Đồng vị và so le trong: cho bằng nhau. Chỉ cặp trong cùng phía mới cho bù nhau.
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Gọi tên, đếm cặp góc; biết một cặp so le trong bằng nhau (Dạng 1) | Hỏi: miền trong? cùng phía hay hai phía? 2 – 4 – 2 cặp; kề bù, đối đỉnh để tính góc | Cùng số là đồng vị, không phải so le trong; cặp so le trong còn lại là góc kề bù |
| Cặp trong cùng phía, hai góc ngoài, tổng – tỉ số các góc (Dạng 2) | Tính góc, đổi bằng kề bù hoặc đối đỉnh về so le trong / đồng vị | So sánh thẳng hai góc không cùng loại; đồng vị bù nhau không đủ |
| Các tia có gốc trên một đường thẳng, kèm số đo góc (Dạng 3) | Cùng phía: đồng vị. Khác phía: so le trong. Chưa đúng tia thì kề bù | Vẽ sai phía; gọi so le trong thành đồng vị |
| Nhiều góc vuông, "vuông góc với" (Dạng 4) | Hai đường phân biệt cùng vuông góc với một đường thì song song; góc khác tính bằng tia đối + kề bù | Vuông góc với hai đường khác nhau; dùng \(360^\circ\) quanh một điểm |
| Hai góc và tia phân giác của mỗi góc (Dạng 5) | Chia đôi, xét vị trí hai nửa góc; nằm ngoài đoạn nối hai gốc thì đổi bằng kề bù | Không tính góc; dùng cặp so le ngoài như so le trong |
| Số đo có ẩn, "tìm \(x\) để song song" (Dạng 6) | Chọn đúng cặp, đổi kề bù nếu cần, cho bằng nhau, thử lại | Cho bằng nhau hai góc không cùng loại; cho đồng vị bù nhau |