HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 29 xếp biến cố thành ba loại: chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên. Nhưng hai biến cố cùng là ngẫu nhiên vẫn có thể rất khác nhau: "Gieo xúc xắc được 6 chấm" khó xảy ra hơn "Tung đồng xu được mặt sấp". Bài này dùng một con số để đo điều đó. Học xong bài này, em làm được:
- Hiểu xác suất là số đo khả năng xảy ra của một biến cố, nhận giá trị từ 0 đến 1.
- Nói ngay xác suất của biến cố chắc chắn và biến cố không thể.
- Nhận ra các biến cố đồng khả năng và tính xác suất của chúng.
- Tính xác suất bằng cách đếm kết quả; so sánh khả năng của các biến cố.
- Tính xác suất khi có hai lần chọn, tìm số vật khi biết xác suất (luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 5 và Dạng 6).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Ba loại biến cố Lớp 7 · Bài 29
Biến cố chắc chắn luôn xảy ra; biến cố không thể không bao giờ xảy ra; biến cố ngẫu nhiên thì không biết trước. Muốn xếp loại, liệt kê hết các kết quả có thể.
2. Phân số tối giản Lớp 6 · Ch.VI
Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất: \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
3. Phân số, số thập phân, phần trăm Lớp 6 · Ch.VII
Cùng một số có ba cách viết: \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%\); \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%\).
1Xác suất của biến cố Lớp 7
Xác suất
Khả năng xảy ra của một biến cố được đo bằng một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó.
- Biến cố chắc chắn: khả năng xảy ra là 100%, xác suất bằng 1.
- Biến cố không thể: khả năng xảy ra là 0%, xác suất bằng 0.
- Biến cố ngẫu nhiên: xác suất nằm giữa 0 và 1; càng gần 1 thì biến cố càng dễ xảy ra.
- Cách viết: phân số, số thập phân hoặc phần trăm đều được.
\(0 \le \text{xác suất} \le 1\)
0 là không thể, 1 là chắc chắn.
Ví dụ 1
Gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố:
\(A\): "Số chấm nhỏ hơn 7".
\(B\): "Số chấm bằng 7".
Lời giải:
Biến cố A. Số chấm chỉ từ 1 đến 6, luôn nhỏ hơn 7.
Đây là biến cố chắc chắn, xác suất bằng 1.
Biến cố B. Không mặt nào có 7 chấm.
Đây là biến cố không thể, xác suất bằng 0.
Đáp số: xác suất của \(A\) là 1; của \(B\) là 0
Tính ra "xác suất bằng \(\dfrac{5}{4}\)" hoặc "xác suất bằng \(-0{,}2\)" rồi vẫn ghi làm đáp số.
Xác suất không bao giờ lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 0. Ra kết quả như vậy nghĩa là đã đếm sai: tìm lại lỗi.
Ghi nhớ
KHÔNG THỂ: 0 · CHẮC CHẮN: 1 · NGẪU NHIÊN: GIỮA 0 VÀ 1
2Biến cố đồng khả năng Lớp 7
Đồng khả năng
Các biến cố có khả năng xảy ra như nhau gọi là các biến cố đồng khả năng.
- Dấu hiệu: đồng xu, xúc xắc cân đối; các thẻ, các viên bi như nhau (cùng kích thước); vòng quay chia thành các ô bằng nhau.
- Quy tắc: nếu có \(k\) biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra đúng một trong \(k\) biến cố đó, thì xác suất của mỗi biến cố bằng \(\dfrac{1}{k}\).
\(\text{xác suất của mỗi biến cố} = \dfrac{1}{k}\)
\(k\) biến cố đồng khả năng, luôn xảy ra đúng một.
Vì sao?
Chắc chắn một trong \(k\) biến cố sẽ xảy ra, nên cả \(k\) biến cố cộng lại chiếm trọn khả năng, tức là 1. Chúng có khả năng như nhau, nên chia đều: mỗi biến cố được \(1 : k = \dfrac{1}{k}\).
Ví dụ 2
a) Tung một đồng xu cân đối. Tìm xác suất của biến cố "Được mặt sấp".
b) Gieo một con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất của biến cố "Được mặt 4 chấm".
c) Gieo một con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất của biến cố "Số chấm là số lẻ".
Lời giải:
a) Hai biến cố đồng khả năng: "sấp" và "ngửa", luôn xảy ra đúng một.
Xác suất được mặt sấp là \(\dfrac{1}{2}\).
b) Sáu biến cố đồng khả năng (Hình 2): được mặt 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 chấm, luôn xảy ra đúng một.
Xác suất được mặt 4 chấm là \(\dfrac{1}{6}\).
c) Gom thành hai nhóm bằng nhau: số lẻ gồm \(1; 3; 5\) và số chẵn gồm \(2; 4; 6\), mỗi nhóm ba mặt.
Hai biến cố "số lẻ", "số chẵn" đồng khả năng và luôn xảy ra đúng một.
Xác suất số chấm là số lẻ là \(\dfrac{1}{2}\).
Đáp số: a) \(\dfrac{1}{2}\); b) \(\dfrac{1}{6}\); c) \(\dfrac{1}{2}\)
"Túi có 3 bi đỏ và 1 bi xanh. Lấy một viên chỉ có hai khả năng là đỏ hoặc xanh, nên xác suất lấy được bi đỏ là \(\dfrac{1}{2}\)."
"Đỏ" và "xanh" không đồng khả năng vì số bi khác nhau. Đồng khả năng là bốn viên bi: mỗi viên \(\dfrac{1}{4}\). Mục 3 cho biết xác suất lấy được bi đỏ là \(\dfrac{3}{4}\).
Ghi nhớ
K BIẾN CỐ ĐỒNG KHẢ NĂNG → MỖI BIẾN CỐ 1/K
3Tính xác suất bằng cách đếm Lớp 7
Quy tắc đếm
Khi trò chơi có \(n\) kết quả đồng khả năng và biến cố xảy ra ở đúng \(m\) kết quả trong số đó, thì xác suất của biến cố bằng \(\dfrac{m}{n}\).
- Mẫu số \(n\): số tất cả các kết quả có thể.
- Tử số \(m\): số kết quả làm cho biến cố xảy ra.
- Điều kiện: các kết quả phải đồng khả năng; đếm theo từng viên bi, từng thẻ, không đếm theo màu.
- Kết quả: rút gọn phân số; có thể đổi sang số thập phân hoặc phần trăm.
\(\text{xác suất} = \dfrac{m}{n}\)
\(m\) kết quả làm biến cố xảy ra, trong \(n\) kết quả đồng khả năng.
Vì sao?
Mỗi kết quả có xác suất \(\dfrac{1}{n}\) (mục 2). Biến cố gom \(m\) kết quả như thế, nên chiếm \(m\) phần trong \(n\) phần bằng nhau, giống như gom ba mặt lẻ của xúc xắc thành \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) ở Ví dụ 2c.
Soát nhanh
Vì \(0 \le m \le n\) nên kết quả luôn từ 0 đến 1. Khi \(m = n\) (mọi kết quả) ta được 1: biến cố chắc chắn. Khi \(m = 0\) ta được 0: biến cố không thể.
Ví dụ 3
a) Gieo một con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất của biến cố "Số chấm lớn hơn 2".
b) Một túi có 3 bi đỏ và 1 bi xanh cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một viên. Tìm xác suất lấy được bi đỏ, lấy được bi xanh.
Lời giải:
a) Đếm: có 6 kết quả đồng khả năng.
Số chấm lớn hơn 2 là \(3; 4; 5; 6\): 4 kết quả.
Xác suất là \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
b) Đếm theo từng viên: có 4 viên bi, khả năng lấy như nhau, nên có 4 kết quả đồng khả năng.
Có 3 kết quả là bi đỏ, 1 kết quả là bi xanh.
Kết quả: xác suất lấy được bi đỏ là \(\dfrac{3}{4}\)
Lấy được bi xanh là \(\dfrac{1}{4}\).
Kiểm tra lại (hai biến cố "đỏ", "xanh" luôn xảy ra đúng một, và \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) ✓).
Đáp số: a) \(\dfrac{2}{3}\); b) \(\dfrac{3}{4}\) và \(\dfrac{1}{4}\)
Câu a: đếm cả số 2, được 5 kết quả và xác suất \(\dfrac{5}{6}\).
"Lớn hơn 2" không gồm 2. Chỉ có \(3; 4; 5; 6\): xác suất \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Ghi nhớ
ĐẾM KẾT QUẢ XẢY RA : ĐẾM TẤT CẢ KẾT QUẢ
🔗 Liên hệ
Xác suất \(\dfrac{1}{6}\) không có nghĩa là cứ gieo 6 lần thì đúng một lần được 6 chấm. Nó nói rằng khi gieo rất nhiều lần, số lần được 6 chấm chiếm khoảng một phần sáu, điều em đã gặp ở lớp 6 với tên gọi xác suất thực nghiệm. Chuyên đề "Xác suất có đếm" của phần luyện chuyên tiếp tục bài này với hai, ba lần chọn và các điều kiện số học; đề thi vào lớp 10 những năm gần đây thường có một câu xác suất kiểu đó.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- Xác suất đo khả năng xảy ra của biến cố bằng một số từ 0 đến 1; càng gần 1 càng dễ xảy ra.
- Biến cố chắc chắn có xác suất 1; biến cố không thể có xác suất 0.
- Có \(k\) biến cố đồng khả năng, luôn xảy ra đúng một: mỗi biến cố có xác suất \(\dfrac{1}{k}\).
- Có \(n\) kết quả đồng khả năng, biến cố xảy ra ở \(m\) kết quả: xác suất bằng \(\dfrac{m}{n}\).
- Trước khi đếm phải chắc các kết quả là đồng khả năng: đếm theo từng vật, không đếm theo loại.
Xác suất 0,5 và 50% có khác nhau không?
Không. \(\dfrac{1}{2}\), \(0{,}5\) và \(50\%\) là ba cách viết của cùng một số. Đề yêu cầu cách viết nào thì viết theo cách đó; nếu không yêu cầu, phân số tối giản là cách viết gọn và chính xác nhất.
Khi nào không dùng được quy tắc 1/k?
Khi các biến cố không đồng khả năng. Túi có 3 bi đỏ và 1 bi xanh thì "đỏ" và "xanh" không có xác suất \(\dfrac{1}{2}\). Khi đó phải lùi về các kết quả nhỏ hơn mà đồng khả năng (từng viên bi) rồi đếm.
Hai biến cố có tổng xác suất bằng 1 thì có ý nghĩa gì?
Nếu luôn xảy ra đúng một trong hai biến cố (như "lấy được bi đỏ" và "không lấy được bi đỏ") thì hai xác suất cộng lại bằng 1. Nhờ vậy, biết xác suất của biến cố này là \(\dfrac{3}{4}\) thì biến cố kia có xác suất \(1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\).