HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán về cộng, trừ đa thức một biến. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Cuối bài có bảng "Thấy gì, dùng gì" để ôn nhanh.
Dạng 1. Cộng hai đa thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Yêu cầu tính \(A(x) + B(x)\), "tính tổng của hai đa thức".
- Yêu cầu tính "bằng hai cách": hàng ngang và cột dọc.
- Đa thức chưa sắp xếp hoặc khuyết bậc: phải sắp xếp và chừa cột trống trước khi đặt tính.
Hướng làm
- Bước 1
Sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm của biến.
- Bước 2
Hàng ngang: bỏ ngoặc, gom cùng bậc.
Cột dọc: đặt cùng bậc thẳng cột, bậc khuyết để trống.
- Bước 3
Cộng hệ số từng bậc.
Thử lại bằng cách thay \(x = 1\) vào hai đa thức ban đầu và vào kết quả.
Ví dụ 1
a) Tính \((2x^2 - 7x + 3) + (x^2 + 7x - 8)\).
b) Cho \(A(x) = x^4 - 3x^2 + 2x\) và \(B(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6\). Tính \(A(x) + B(x)\).
Lời giải:
a) Bỏ ngoặc, gom cùng bậc: \((2x^2 + x^2) + (-7x + 7x) + (3 - 8)\) \(= 3x^2 - 5\).
Hai hạng tử bậc 1 đối nhau nên triệt tiêu (thử \(x = 1\): \(-2 + 0 = -2\) và \(3 - 5 = -2\) ✓).
b) Xếp theo cột: \(A(x)\) có các bậc \(4; 2; 1\), còn \(B(x)\) có các bậc \(3; 2; 0\).
Cần đủ năm cột từ bậc 4 xuống bậc 0.
Cộng từng cột: bậc 4 được \(x^4\)
Bậc 3 được \(2x^3\)
Bậc 2 được \(-3x^2 + 3x^2 = 0\)
Bậc 1 được \(2x\)
Bậc 0 được \(-6\).
Kết quả: \(A(x) + B(x) = x^4 + 2x^3 + 2x - 6\) (thử \(x = 1\): \(0 + (-1) = -1\) và \(1 + 2 + 2 - 6 = -1\) ✓).
Đáp số: a) \(3x^2 - 5\); b) \(x^4 + 2x^3 + 2x - 6\)
Câu b: viết \(B(x)\) ngay dưới \(A(x)\) theo thứ tự hạng tử, đặt \(2x^3\) dưới \(x^4\) rồi cộng thành \(3x^4\) hoặc \(3x^7\).
Chỉ cộng các hạng tử cùng bậc. \(x^4\) và \(2x^3\) khác bậc nên mỗi hạng tử ở một cột riêng, để nguyên.
Dạng 2. Trừ hai đa thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Yêu cầu tính \(A(x) - B(x)\), "tính hiệu".
- Có dấu trừ đứng trước một ngoặc chứa cả đa thức.
- Đề ghi rõ thứ tự (\(Q(x) - P(x)\) chứ không phải \(P(x) - Q(x)\)): đổi thứ tự thì kết quả đổi dấu.
Hướng làm
- Bước 1
Viết đa thức bị trừ, dấu trừ, rồi đa thức trừ trong ngoặc.
- Bước 2
Bỏ ngoặc: đổi dấu mọi hạng tử của đa thức trừ.
Gom cùng bậc rồi cộng hệ số.
- Bước 3
Thử lại: lấy hiệu cộng với đa thức trừ, phải ra đa thức bị trừ
Hoặc thay \(x = 1\).
Ví dụ 2
a) Tính \((4x^2 - x + 3) - (x^2 - 5x + 2)\).
b) Cho \(C(x) = 2x^3 - x + 5\) và \(D(x) = x^3 - 4x^2 - x + 1\). Tính \(C(x) - D(x)\) theo cột dọc.
Lời giải:
a) Bỏ ngoặc, đổi dấu (Hình 3): \((4x^2 - x + 3) - (x^2 - 5x + 2)\)
\(= 4x^2 - x + 3 - x^2 + 5x - 2\).
Gom cùng bậc: \((4x^2 - x^2) + (-x + 5x) + (3 - 2)\)
\(= 3x^2 + 4x + 1\) (thử \(x = 1\): \(6 - (-2) = 8\) và \(3 + 4 + 1 = 8\) ✓).
b) Trừ từng cột: bậc 3 được \(2 - 1 = 1\)
Bậc 2 được \(0 - (-4) = 4\)
Bậc 1 được \(-1 - (-1) = 0\)
Bậc 0 được \(5 - 1 = 4\).
Kết quả: \(C(x) - D(x) = x^3 + 4x^2 + 4\) (thử \(x = 1\): \(6 - (-3) = 9\) và \(1 + 4 + 4 = 9\) ✓).
Đáp số: a) \(3x^2 + 4x + 1\); b) \(x^3 + 4x^2 + 4\)
Bẫy hay gặp: chỉ đổi dấu hạng tử đầu khi bỏ ngoặc (xem Lý thuyết, mục 2).
Dạng 3. Cộng, trừ nhiều đa thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Có ba đa thức và một dãy phép tính (\(A + B - C\)).
- Có ngoặc lớn chứa nhiều đa thức (\(A - (B + C)\)).
- Hỏi về tính chất: \(A - B\) so với \(B - A\).
Hướng làm
- Bước 1
Ghi dấu của từng đa thức: đa thức đứng sau dấu trừ thì mọi hệ số của nó đổi dấu.
- Bước 2
Cộng theo từng bậc, lần lượt bậc cao xuống bậc thấp, mỗi bậc lấy hệ số của cả ba đa thức.
- Bước 3
Ngoặc lớn có dấu trừ đằng trước: \(A - (B + C) = A - B - C\).
Ví dụ 3
Cho \(A(x) = 2x^2 - x + 3\), \(B(x) = x^2 + 4x - 1\), \(C(x) = 3x^2 - 2\).
a) Tính \(A(x) - B(x) + C(x)\).
b) Tính \(A(x) - \left(B(x) + C(x)\right)\).
Lời giải:
a) Từng bậc: bậc 2 được \(2 - 1 + 3 = 4\)
Bậc 1 được \(-1 - 4 + 0 = -5\)
Bậc 0 được \(3 - (-1) + (-2) = 2\).
Vậy \(A(x) - B(x) + C(x) = 4x^2 - 5x + 2\).
b) Bỏ ngoặc lớn: \(A - (B + C) = A - B - C\).
Từng bậc: bậc 2 được \(2 - 1 - 3 = -2\)
Bậc 1 được \(-1 - 4 - 0 = -5\)
Bậc 0 được \(3 + 1 + 2 = 6\).
Vậy kết quả là \(-2x^2 - 5x + 6\).
Đáp số: a) \(4x^2 - 5x + 2\); b) \(-2x^2 - 5x + 6\)
\(A - (B + C) = A - B + C\) (chỉ đổi dấu đa thức đầu trong ngoặc), ra \(4x^2 - 5x + 2\).
\(A - (B + C) = A - B - C\): cả \(B\) và \(C\) đều bị trừ. Kết quả \(-2x^2 - 5x + 6\).
Dạng 4. Tìm đa thức chưa biết Lớp 7
Nhận biết
Đề cho một đẳng thức có đa thức chưa biết ở một trong ba vị trí:
- Số hạng: \(M + A = B\).
- Số trừ: \(A - N = B\).
- Số bị trừ: \(K - A = B\).
Hướng làm
- Bước 1
Xác định vai trò của đa thức chưa biết rồi viết phép tính: số hạng \(M = B - A\)
Số trừ \(N = A - B\)
Số bị trừ \(K = B + A\).
- Bước 2
Thực hiện phép cộng hoặc trừ như Dạng 1, Dạng 2.
- Bước 3
Thử lại: thay đa thức vừa tìm vào đẳng thức của đề.
Ví dụ 4
Tìm các đa thức \(M(x)\), \(N(x)\), \(K(x)\) biết:
a) \(M(x) + (3x^2 - 2x + 1)\) \(= x^2 + 5x - 4\)
b) \((5x^3 - 2x) - N(x) = 2x^3 + x - 7\)
c) \(K(x) - (x^2 + 3) = -x^2 + 2x\)
Lời giải:
a) \(M\) là số hạng (Hình 4): \(M(x) = (x^2 + 5x - 4)\) \(- (3x^2 - 2x + 1)\)
\(= x^2 + 5x - 4 - 3x^2 + 2x - 1\)
\(= -2x^2 + 7x - 5\).
Thử lại câu a: \((-2x^2 + 7x - 5) + (3x^2 - 2x + 1)\)
\(= x^2 + 5x - 4\) ✓.
b) \(N\) là số trừ: \(N(x) = (5x^3 - 2x) - (2x^3 + x - 7)\)
\(= 5x^3 - 2x - 2x^3 - x + 7\) \(= 3x^3 - 3x + 7\).
c) \(K\) là số bị trừ: \(K(x) = (-x^2 + 2x) + (x^2 + 3)\) \(= 2x + 3\).
Đáp số: a) \(M(x) = -2x^2 + 7x - 5\); b) \(N(x) = 3x^3 - 3x + 7\); c) \(K(x) = 2x + 3\)
Câu a: lấy đa thức đã biết trừ tổng, \((3x^2 - 2x + 1)\) \(- (x^2 + 5x - 4)\), ra \(M(x) = 2x^2 - 7x + 5\).
Số hạng chưa biết bằng tổng trừ số hạng đã biết: \((x^2 + 5x - 4)\) \(- (3x^2 - 2x + 1)\), ra \(M(x) = -2x^2 + 7x - 5\).
Dạng 5. Giá trị, bậc, nghiệm của tổng và hiệu Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đặt tên cho tổng hoặc hiệu (\(f(x) = P(x) + Q(x)\)) rồi hỏi \(f(-1)\), bậc, nghiệm của \(f(x)\).
- Bài thực tế: lợi nhuận = doanh thu − chi phí, phần còn lại = tổng − phần đã dùng.
- Hai đa thức có hệ số cao nhất đối nhau: bậc của tổng sẽ thấp hơn.
Hướng làm
- Bước 1
Tính tổng hoặc hiệu, thu gọn xong mới làm tiếp.
- Bước 2
Đọc bậc từ kết quả
Thay số để tính giá trị
Cho kết quả bằng 0 để tìm nghiệm (Bài 25).
Ví dụ 5
a) Cho \(P(x) = x^2 - 5x + 2\) và \(Q(x) = -x^2 + 3x + 4\). Đặt \(F(x) = P(x) + Q(x)\). Tìm bậc và nghiệm của \(F(x)\), rồi tính \(F(-1)\).
b) Một cửa hàng bán \(x\) sản phẩm thu được \(T(x) = 80x\) (nghìn đồng) và phải chi \(C(x) = x^2 + 20x + 300\) (nghìn đồng). Viết đa thức biểu thị lợi nhuận, rồi tính lợi nhuận khi bán 20 sản phẩm.
Lời giải:
a) Tính tổng: \(F(x) = (x^2 - x^2) + (-5x + 3x)\) \(+ (2 + 4)\)
\(= -2x + 6\).
Hai hạng tử bậc 2 triệt tiêu nên \(F(x)\) có bậc 1.
Nghiệm: \(-2x + 6 = 0\) nên \(2x = 6\)
Suy ra \(x = 3\).
Giá trị: \(F(-1) = -2 \cdot (-1) + 6 = 8\).
b) Lợi nhuận bằng thu trừ chi: \(L(x) = 80x - (x^2 + 20x + 300)\)
\(= -x^2 + 60x - 300\) (nghìn đồng).
Thay \(x = 20\): \(L(20) = -400 + 1200 - 300 = 500\) (nghìn đồng).
Đáp số: a) bậc 1; nghiệm \(x = 3\); \(F(-1) = 8\); b) \(L(x) = -x^2 + 60x - 300\), 500 nghìn đồng
Câu b: \(80x - x^2 + 20x + 300\) (quên ngoặc quanh chi phí), ra \(-x^2 + 100x + 300\).
Cả chi phí bị trừ: \(80x - (x^2 + 20x + 300)\) \(= -x^2 + 60x - 300\).
Dạng 6. Bài toán nâng cao về tổng và hiệu Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Tìm tham số để tổng hoặc hiệu có bậc cho trước.
- Cho biết cả tổng lẫn hiệu của hai đa thức, tìm từng đa thức.
- Có \(f(-x)\): đa thức thu được khi thay \(x\) bằng \(-x\).
- Tìm \(x\) để \(P(x) = Q(x)\).
- Cho tổng của từng cặp trong ba đa thức.
Hướng làm
- Bước 1
Bậc cho trước: tính tổng, cho hệ số của bậc cần mất bằng 0, rồi kiểm tra hệ số của bậc cần giữ khác 0.
- Bước 2
Biết tổng \(S\) và hiệu \(D\): cộng hai đẳng thức được \(2P = S + D\)
Trừ được \(2Q = S - D\).
- Bước 3
\(f(-x)\): hạng tử bậc chẵn giữ nguyên, hạng tử bậc lẻ đổi dấu.
- Bước 4
\(P(x) = Q(x)\) khi \(P(x) - Q(x) = 0\): tìm nghiệm của hiệu.
Ba tổng từng cặp: cộng cả ba rồi chia đôi.
Ví dụ 6
a) Tìm \(m\) để tổng của \(mx^3 + 2x^2 - 1\) và \(4x^3 - x + 3\) là đa thức bậc 2.
b) Tìm \(P(x)\) và \(Q(x)\) biết \(P(x) + Q(x) = 5x^2 + 2x - 3\) và \(P(x) - Q(x) = x^2 - 6x + 7\).
c) Cho \(f(x) = 2x^3 - x^2 + 4x - 3\). Tính \(f(x) + f(-x)\) và \(f(x) - f(-x)\).
d) Cho \(P(x) = 2x^2 - x + 4\) và \(Q(x) = x^2 + 6x + 4\). Tìm \(x\) để \(P(x) = Q(x)\).
e) Ba đa thức \(A\), \(B\), \(C\) thỏa mãn \(A + B = 2x^2 + x\); \(B + C = x^2 - 3x + 2\); \(C + A = x^2 + 4x + 4\). Tìm \(A + B + C\) và \(A\).
Lời giải:
a) Tính tổng: \((m + 4)x^3 + 2x^2 - x + 2\).
Muốn bậc 2 thì hạng tử bậc 3 phải mất: \(m + 4 = 0\) nên \(m = -4\).
Khi đó tổng là \(2x^2 - x + 2\), đúng là bậc 2.
b) Cộng hai đẳng thức: \(2P(x) = 6x^2 - 4x + 4\) nên \(P(x) = 3x^2 - 2x + 2\).
Trừ hai đẳng thức: \(2Q(x) = 4x^2 + 8x - 10\) nên \(Q(x) = 2x^2 + 4x - 5\).
c) Viết \(f(-x)\): bậc lẻ đổi dấu nên \(f(-x) = -2x^3 - x^2 - 4x - 3\).
Cộng, trừ: \(f(x) + f(-x) = -2x^2 - 6\) (chỉ còn bậc chẵn).
\(f(x) - f(-x) = 4x^3 + 8x\) (chỉ còn bậc lẻ).
d) Xét hiệu: \(P(x) - Q(x) = x^2 - 7x = x(x - 7)\).
Hiệu bằng 0 khi \(x = 0\) hoặc \(x = 7\).
e) Cộng cả ba đẳng thức: \(2(A + B + C) = 4x^2 + 2x + 6\) nên \(A + B + C = 2x^2 + x + 3\).
Tìm \(A\): \(A = (A + B + C) - (B + C)\)
\(= (2x^2 + x + 3) - (x^2 - 3x + 2)\)
\(= x^2 + 4x + 1\).
Đáp số: a) \(m = -4\); d) \(x = 0\) hoặc \(x = 7\); các câu b, c, e: xem kết quả từng câu ở trên
Câu c: viết \(f(-x)\) bằng cách đổi dấu tất cả hạng tử, \(f(-x) = -2x^3 + x^2 - 4x + 3\).
\((-x)^2 = x^2\) nên hạng tử bậc chẵn và hạng tử số giữ nguyên dấu: \(f(-x) = -2x^3 - x^2 - 4x - 3\).
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Tính tổng hai đa thức (Dạng 1) | Sắp xếp, cùng bậc thẳng cột, cộng hệ số | Bậc khuyết mà không chừa cột trống |
| Tính hiệu hai đa thức (Dạng 2) | Đa thức trừ đặt trong ngoặc, đổi dấu mọi hạng tử | Chỉ đổi dấu hạng tử đầu; trừ ngược thứ tự |
| Ba đa thức, ngoặc lớn (Dạng 3) | Ghi dấu của từng đa thức, cộng theo từng bậc | \(A - (B + C)\) viết thành \(A - B + C\) |
| Đẳng thức có đa thức chưa biết (Dạng 4) | Xác định vai trò: số hạng, số trừ, số bị trừ | Lấy số hạng đã biết trừ tổng |
| Hỏi giá trị, bậc, nghiệm của tổng, hiệu (Dạng 5) | Tính xong, thu gọn, rồi mới đọc bậc hoặc thay số | Cho rằng bậc của tổng luôn bằng bậc lớn hơn |
| Tham số, tổng và hiệu, \(f(-x)\), \(P(x) = Q(x)\) (Dạng 6) | Cho hệ số bằng 0; cộng trừ hai đẳng thức; xét hiệu | \(f(-x)\) đổi dấu cả hạng tử bậc chẵn |