HomeStudyTrước khi bắt đầu
Ở Bài 5 em đã biết mỗi số hữu tỉ là một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Bài này giới thiệu loại số mới: số thập phân vô hạn không tuần hoàn, gọi là số vô tỉ, và phép toán sinh ra chúng: căn bậc hai số học. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Nhận biết một số là số hữu tỉ hay số vô tỉ; dùng đúng kí hiệu \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{I}\).
- Tính căn bậc hai số học của số chính phương, phân số, số thập phân; tính \(\sqrt{a^2}\), \(\left(\sqrt{a}\right)^2\).
- Tìm \(x\) biết \(x^2 = a\).
- Ước lượng, so sánh căn bậc hai; tính gần đúng bằng máy tính rồi làm tròn.
- Giải bài toán thực tế: cạnh hình vuông biết diện tích, bán kính hình tròn biết diện tích.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Số hữu tỉ và số thập phân Lớp 7 · Bài 5
Số hữu tỉ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn: \(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)\).
2. Bình phương Lớp 7 · Bài 3
\(a^2 = a \cdot a\). Hai số đối nhau có cùng bình phương: \((-3)^2 = 3^2 = 9\). Bình phương của mọi số đều không âm.
1Số vô tỉ Lớp 7
Bài toán mở đầu. Có hình vuông nào có diện tích đúng 2 m² không? Có: vẽ trên lưới 2 × 2 ô vuông (Hình 1). Cạnh \(x\) của nó thỏa mãn \(x^2 = 2\). Vậy \(x\) bằng bao nhiêu?
Tìm \(x\) với \(x^2 = 2\): hiểu từng bước
- Bước 1
Kẹp giữa hai số nguyên. \(1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2\)
Nên \(1 < x < 2\)
\(x\) không phải số nguyên.
- Bước 2
Kẹp từng chữ số thập phân. \((1{,}4)^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = (1{,}5)^2\)
Nên \(x = 1{,}4\ldots\)
Tiếp: \((1{,}41)^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = (1{,}42)^2\)
Nên \(x = 1{,}41\ldots\) (Hình 2).
- Bước 3
Không bao giờ dừng, không bao giờ lặp. Làm mãi được \(x = 1{,}41421356\ldots\).
Người ta chứng minh được dãy chữ số này vô hạn và không có chu kỳ nào (TH2 có cách chứng minh, nhãn Nâng cao).
Vậy \(x\) không phải số hữu tỉ.
- Bước 4
Thử lại. \((1{,}4142)^2 = 1{,}99996164\)
Rất gần 2 nhưng chưa bằng 2: số thập phân hữu hạn nào cũng chỉ là giá trị gần đúng của \(x\).
Số vô tỉ
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là \(\mathbb{I}\).
Ví dụ: \(x = 1{,}41421356\ldots\) (\(x^2 = 2\)); \(\pi = 3{,}14159265\ldots\); \(0{,}101001000100001\ldots\) (số chữ số 0 tăng dần, không có nhóm nào lặp).
Chú ý
Một số hoặc là số hữu tỉ (hữu hạn, vô hạn tuần hoàn), hoặc là số vô tỉ (vô hạn không tuần hoàn), không thể vừa là cả hai.
\(0{,}333\ldots\) có vô số chữ số nên là số vô tỉ.
\(0{,}(3) = \dfrac{1}{3}\) lặp chu kỳ 3, là số hữu tỉ. Số vô tỉ phải vô hạn và không tuần hoàn.
\(\pi = 3{,}14\), nên \(\pi\) là số hữu tỉ.
\(3{,}14\) chỉ là giá trị gần đúng: \(\pi \approx 3{,}14\). Còn \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) là số vô tỉ.
Ghi nhớ
VÔ HẠN TUẦN HOÀN → HỮU TỈ · VÔ HẠN KHÔNG TUẦN HOÀN → VÔ TỈ · CÓ DẤU CĂN CHƯA CHẮC LÀ VÔ TỈ: TÍNH RA TRƯỚC
2Căn bậc hai số học Lớp 7
Định nghĩa
Căn bậc hai số học của một số \(a\) không âm, kí hiệu \(\sqrt{a}\), là số \(x\) không âm sao cho \(x^2 = a\).
Ví dụ: \(\sqrt{25} = 5\) vì \(5 \ge 0\) và \(5^2 = 25\); \(\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}\); \(\sqrt{0{,}16} = 0{,}4\); \(\sqrt{0} = 0\). Số \(x\) ở Hình 1 chính là \(\sqrt{2}\).
Chú ý
- Mỗi số \(a \ge 0\) có đúng một căn bậc hai số học, và \(\sqrt{a} \ge 0\). Số âm không có căn bậc hai số học (không số nào bình phương ra số âm).
- Với mọi \(a \ge 0\): \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\), ví dụ \(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\).
- Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương là số vô tỉ: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\)…
Tính \(\sqrt{(-4)^2}\): hiểu từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \(\sqrt{(-4)^2}\) là căn bậc hai số học của số \((-4)^2\).
Phải biết số trong căn bằng bao nhiêu trước.
- Bước 2
Tính trong căn. \((-4)^2 = 16\) (bình phương của số âm là số dương).
- Bước 3
Lấy căn số học. Số không âm có bình phương bằng 16 là 4, nên \(\sqrt{(-4)^2} = 4\)
Không phải \(-4\).
- Bước 4
Phân biệt với dấu trừ ngoài căn. \(-\sqrt{4^2} = -\sqrt{16} = -4\)
Dấu trừ đứng ngoài nên giữ lại (Hình 3).
Ví dụ tự kiểm tra: \(\sqrt{(-0{,}8)^2} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\); \(-\sqrt{(0{,}8)^2} = -0{,}8\).
Tính bằng máy tính cầm tay: bấm phím \(\sqrt{\;}\) rồi nhập số. Ví dụ \(\sqrt{3} = 1{,}7320508\ldots\), làm tròn đến hàng phần nghìn: \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\). Máy chỉ hiện một số chữ số; số vô tỉ thì kết quả luôn là giá trị gần đúng, phải dùng dấu "≈".
\(\sqrt{16} = \pm 4\) (vì \(4^2\) và \((-4)^2\) đều bằng 16).
Căn bậc hai số học luôn không âm: \(\sqrt{16} = 4\). Còn phương trình \(x^2 = 16\) mới có hai giá trị \(x = 4\) hoặc \(x = -4\).
\(\sqrt{0{,}4} = 0{,}2\) (lấy căn của 4 rồi giữ dấu phẩy).
\((0{,}2)^2 = 0{,}04\), nên \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\). Còn \(\sqrt{0{,}4} \approx 0{,}632\) là số vô tỉ. Số chữ số sau dấu phẩy trong căn phải là số chẵn thì mới "chia đôi" được.
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Cộng trong căn trước: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Căn của một tổng không bằng tổng các căn.
Ghi nhớ
CĂN BẬC HAI SỐ HỌC LUÔN KHÔNG ÂM · CHỈ CÓ NGHĨA VỚI SỐ KHÔNG ÂM · TÍNH TRONG CĂN TRƯỚC, KHÔNG TÁCH CĂN CỦA MỘT TỔNG
🔗 Liên kết
Ở Bài 7, số hữu tỉ và số vô tỉ gộp lại thành tập hợp số thực \(\mathbb{R}\). Lên lớp 8, định lí Pythagore cho thấy đường chéo hình vuông cạnh 1 dài đúng \(\sqrt{2}\): chính là cạnh hình vuông nghiêng ở Hình 1.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Số vô tỉ = số thập phân vô hạn không tuần hoàn; kí hiệu \(\mathbb{I}\). Vô hạn tuần hoàn vẫn là số hữu tỉ.
- \(\sqrt{a}\) (\(a \ge 0\)) là số không âm có bình phương bằng \(a\). Số âm không có căn bậc hai số học.
- \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\); \(\sqrt{(-4)^2} = 4\) (tính trong căn trước).
- \(\sqrt{n}\) với \(n\) tự nhiên không chính phương là số vô tỉ.
- Kết quả máy tính của số vô tỉ là giá trị gần đúng: dùng "≈".
"Căn bậc hai" và "căn bậc hai số học" khác nhau thế nào?
Số 16 có hai số mà bình phương bằng 16 là 4 và \(-4\); cả hai được gọi là căn bậc hai của 16 (lớp 9 học kĩ). Căn bậc hai số học chỉ lấy số không âm: \(\sqrt{16} = 4\). Lớp 7 chỉ dùng căn bậc hai số học.
Máy tính hiện \(\sqrt{2} = 1{,}414213562\), sao biết nó không dừng?
Máy chỉ hiện được khoảng 10 chữ số. Nếu \(\sqrt{2}\) là số thập phân hữu hạn thì bình phương của nó (cũng hữu hạn) phải đúng bằng 2; thử bất kì số nào như \((1{,}4142)^2 = 1{,}99996164\) đều không ra đúng 2. Lập luận chặt chẽ ở TH2 (Nâng cao) cho thấy \(\sqrt{2}\) không viết được thành phân số nào.
Số vô tỉ có nhiều không?
Rất nhiều: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \ldots\) (mọi số tự nhiên không chính phương), \(\pi\), và vô số số như \(0{,}1010010001\ldots\) Giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có số vô tỉ.