HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Nhận biết nhanh:
- Cho một góc của tam giác cân, tính các góc khác: Dạng 1.
- Hỏi "tam giác gì": Dạng 2.
- Chứng minh tam giác cân: Dạng 3.
- Chứng minh tam giác đều: Dạng 4.
- Có đường trung trực, điểm cách đều: Dạng 5.
- Bài tổng hợp nhiều ý trong tam giác cân: Dạng 6.
Dạng 1. Tính góc trong tam giác cân Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Cân tại A" và biết một góc.
- Hỏi các góc còn lại; chưa nói góc ở đỉnh hay ở đáy thì xét hai trường hợp.
Hướng làm
- Bước 1
Xác định góc đã biết là góc ở đỉnh hay góc ở đáy.
- Bước 2
Góc ở đáy = (180° − góc ở đỉnh) : 2
Góc ở đỉnh = 180° − 2 · góc ở đáy.
Ví dụ 1
a) \(\triangle ABC\) cân tại A có \(\widehat{B} = 72^\circ\). Tính \(\widehat{A}\). b) \(\triangle MNP\) cân tại M có \(\widehat{M} = 100^\circ\). Tính \(\widehat{N}\).
Lời giải:
a) \(\widehat{C} = \widehat{B} = 72^\circ\) (tam giác cân tại A)
\(\widehat{A} = 180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 36^\circ\).
b) \(\widehat{N} = \widehat{P} = (180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ\) (tam giác cân tại M).
Đáp số: a) \(36^\circ\); b) \(40^\circ\)
Câu b: \(\widehat{N} = 100^\circ\) vì "cân nên hai góc bằng nhau".
\(\widehat{M} = 100^\circ\) là góc ở đỉnh; góc tù chỉ có thể là góc ở đỉnh. Hai góc ở đáy bằng \(40^\circ\).
Dạng 2. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Cho số đo hai góc hoặc các cạnh.
- Hỏi tam giác là tam giác gì.
Hướng làm
- Bước 1
Tính đủ ba góc (hoặc so ba cạnh).
- Bước 2
Hai góc bằng nhau: cân (tại đỉnh còn lại)
Ba góc \(60^\circ\): đều
Có thêm góc vuông: vuông cân.
Ví dụ 2
\(\triangle ABC\) có \(\widehat{A} = 50^\circ\), \(\widehat{B} = 65^\circ\). Tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải:
\(\widehat{C} = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ\) (tổng ba góc).
\(\widehat{B} = \widehat{C}\) nên \(\triangle ABC\) cân tại A.
Đáp số: tam giác cân tại A
"Cân tại B" vì \(\widehat{B}\) là góc đã biết.
Hai góc bằng nhau là góc ở đáy (B và C), đỉnh là điểm còn lại: cân tại A.
Dạng 3. Chứng minh tam giác cân Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Chứng minh \(\triangle\ldots\) cân".
- Đề có tia phân giác và đường song song.
- Hoặc nhiều đoạn bằng nhau.
Hướng làm
- Bước 1
Cách 1: chứng minh hai cạnh bằng nhau (thường qua tam giác bằng nhau).
- Bước 2
Cách 2: chứng minh hai góc bằng nhau (phân giác + so le trong là cặp hay gặp).
Ví dụ 3
Cho \(\triangle ABC\). Tia phân giác của \(\widehat{B}\) cắt đường thẳng đi qua A và song song với BC tại E. Chứng minh \(\triangle ABE\) cân.
Lời giải:
\(\widehat{AEB} = \widehat{EBC}\) (so le trong, \(AE \parallel BC\)).
\(\widehat{EBC} = \widehat{ABE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\)).
Suy ra \(\widehat{AEB} = \widehat{ABE}\)
Nên \(\triangle ABE\) cân tại A.
Kết luận: \(\triangle ABE\) cân tại A (\(AB = AE\))
Kết luận "cân tại E" vì E là điểm mới vẽ.
Hai góc bằng nhau ở B và E, nên đỉnh là A: \(AB = AE\).
Dạng 4. Chứng minh tam giác đều Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Có góc \(60^\circ\) trong tam giác cân.
- Hoặc ba đoạn bằng nhau.
Hướng làm
- Bước 1
Chứng minh tam giác cân (hai cạnh hoặc hai góc).
- Bước 2
Chỉ ra một góc bằng \(60^\circ\).
Ví dụ 4
\(\triangle ABC\) cân tại A có \(\widehat{B} = 60^\circ\), \(AB = 4\) cm. Chứng minh \(\triangle ABC\) đều và tính chu vi.
Lời giải:
\(\widehat{C} = \widehat{B} = 60^\circ\) (tam giác cân tại A)
\(\widehat{A} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Ba góc bằng nhau nên \(\triangle ABC\) đều: \(AB = BC = CA = 4\) cm, chu vi \(12\) cm.
Đáp số: tam giác đều, chu vi 12 cm
Dạng 5. Đường trung trực Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Đường trung trực của AB cắt … tại D"
- "điểm cách đều A và B"
Hướng làm
- Bước 1
Điểm trên trung trực của AB: viết ngay \(DA = DB\)
Tam giác DAB cân tại D.
- Bước 2
Dùng hai góc ở đáy bằng nhau để tính góc
Nhiều điểm cách đều A, B thì cùng nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ 5
Cho \(\triangle ABC\) cân tại A có \(\widehat{A} = 100^\circ\). Đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính \(\widehat{DAC}\).
Lời giải:
\(\widehat{B} = \widehat{C} = (180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ\).
D nằm trên trung trực của AB nên \(DA = DB\)
\(\triangle DAB\) cân tại D: \(\widehat{DAB} = \widehat{B} = 40^\circ\).
Tia AD nằm giữa AB, AC (vì \(40^\circ < 100^\circ\)): \(\widehat{DAC} = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\).
Đáp số: \(\widehat{DAC} = 60^\circ\)
Luôn coi D nằm giữa B và C rồi trừ góc.
So \(\widehat{DAB}\) với \(\widehat{BAC}\) trước. Bài 35 đề cương có \(\widehat{DAB} = 70^\circ > 40^\circ = \widehat{BAC}\): D nằm ngoài đoạn BC, phải trừ ngược lại.
Dạng 6. Bài tổng hợp trong tam giác cân Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Bài nhiều ý: song song, đoạn bằng nhau, tam giác cân mới, vuông góc.
- Ý sau dùng kết quả của ý trước.
Hướng làm
- Bước 1
Ghi ngay \(\widehat{B} = \widehat{C}\) (tam giác cân) vì gần như ý nào cũng dùng.
- Bước 2
Mỗi ý: chọn đúng cặp tam giác hoặc cặp góc
Ý sau dùng kết quả ý trước.
Ví dụ 6
Cho \(\triangle ABC\) cân tại A, \(\widehat{A} = 40^\circ\). Lấy D trên AB, E trên AC sao cho \(AD = AE\). Tính \(\widehat{ADE}\) và chứng minh \(DE \parallel BC\).
Lời giải:
\(\triangle ADE\) cân tại A (\(AD = AE\)): \(\widehat{ADE} = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ\).
\(\triangle ABC\) cân tại A: \(\widehat{ABC} = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ\).
\(\widehat{ADE} = \widehat{ABC}\)
Hai góc đồng vị (cát tuyến AB), nên \(DE \parallel BC\).
Đáp số: \(\widehat{ADE} = 70^\circ\), \(DE \parallel BC\)
Chứng minh \(DE \parallel BC\) bằng cách "nhìn thấy hai góc bằng nhau" mà không tính.
Cả hai góc cùng bằng \(\dfrac{180^\circ - \widehat{A}}{2}\): viết rõ công thức này cho cả hai tam giác cân.
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Công cụ |
|---|---|
| Cân + một góc | Góc đáy = (180° − góc đỉnh) : 2 |
| Phân giác + song song | Hai góc bằng nhau ⇒ tam giác cân |
| Cân + một góc 60° | Tam giác đều |
| Trung trực của AB cắt … | DA = DB, tam giác DAB cân |
| Nhiều điểm cách đều B, C | Cùng nằm trên trung trực BC ⇒ thẳng hàng |
Ôn tập Chương IV
Muốn chứng minh gì, thường dùng gì
| Muốn chứng minh | Cách thường dùng |
|---|---|
| Hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau | Chọn hai tam giác chứa chúng, chứng minh hai tam giác bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g, tam giác vuông: Bài 13–15) |
| Hai đường thẳng vuông góc | Hai góc kề bù bằng nhau, mỗi góc \(90^\circ\) (Bài 13) |
| Hai đường thẳng song song | Cặp góc tương ứng nằm ở vị trí so le trong hoặc đồng vị (Bài 13, 14) |
| Ba điểm thẳng hàng | Hai tia cùng là tia phân giác của một góc; hai góc kề cộng lại \(180^\circ\); cùng nằm trên một đường trung trực (Bài 13, 14, 16) |
| Trung điểm của một đoạn | Thẳng hàng và hai đoạn bằng nhau (Bài 14) |
| Tam giác cân, tam giác đều | Hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau; cân có một góc \(60^\circ\) (Bài 16) |
| Một góc | Tổng ba góc, góc ngoài, hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau (Bài 12) |
Mỗi cặp cạnh, góc bằng nhau lấy từ một trong năm nguồn: giả thiết, cạnh hoặc góc chung, đối đỉnh, song song (so le trong, đồng vị), kết quả của ý trước.