HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài mở đầu của Toán 7 (sách Kết nối tri thức, Chương I). Ở lớp 6 em đã làm việc với số nguyên và phân số. Lớp 7 gom tất cả các số đó vào một tập hợp chung: tập hợp các số hữu tỉ. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Nhận biết một số có phải là số hữu tỉ không, và dùng đúng các kí hiệu \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\), \(\in\), \(\subset\).
- Biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số.
- Tìm số đối của một số hữu tỉ.
- So sánh hai số hữu tỉ bằng nhiều cách: quy đồng, số thập phân, so với 0 hoặc 1, phần bù.
- Sắp xếp các số hữu tỉ và tìm số hữu tỉ nằm giữa hai số cho trước (luyện ở bài Các dạng bài, Dạng 5).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là cách làm nhanh hoặc mở rộng ngoài sách.
Nhớ lại lớp 6
1. Phân số bằng nhau Lớp 6 · Ch.VI
Nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì được phân số bằng nó: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{-3}{-6}\). Phân số có mẫu âm đổi được sang mẫu dương: \(\dfrac{3}{-4} = \dfrac{-3}{4}\).
2. So sánh phân số Lớp 6 · Ch.VI
Đưa về cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn: \(\dfrac{-5}{6} = \dfrac{-15}{18} < \dfrac{-14}{18} = \dfrac{-7}{9}\).
3. Số nguyên trên trục số Lớp 6 · Ch.III
Trên trục số nằm ngang, điểm bên trái biểu diễn số nhỏ hơn. Số âm nằm bên trái 0, số dương nằm bên phải 0.
1Số hữu tỉ và tập hợp \(\mathbb{Q}\) Lớp 7
Định nghĩa
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\), trong đó:
- tử và mẫu đều là số nguyên: \(a, b \in \mathbb{Z}\);
- mẫu khác 0: \(b \ne 0\).
\(\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0 \right\}\)
đọc: "tập hợp các số hữu tỉ"; chữ \(\mathbb{Q}\) lấy từ quotient nghĩa là "thương", vì \(\dfrac{a}{b} = a : b\)
Muốn biết một số có phải số hữu tỉ không, hãy thử viết nó thành phân số:
- Số nguyên → mẫu là 1: \(-7 = \dfrac{-7}{1}\) ✓ hữu tỉ
- Số thập phân (hữu hạn) → mẫu 10, 100, …: \(0{,}3 = \dfrac{3}{10}\) ✓ hữu tỉ
- Hỗn số → đổi ra phân số: \(-2\dfrac{3}{4} = -\dfrac{11}{4}\) ✓ hữu tỉ
Ghi nhớ
VIẾT ĐƯỢC THÀNH PHÂN SỐ (mẫu ≠ 0) → LÀ SỐ HỮU TỈ
- Các phân số bằng nhau là cùng một số hữu tỉ: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\) chỉ là một số, viết theo ba cách.
- Số 0 cũng là số hữu tỉ: \(0 = \dfrac{0}{1}\).
"\(\dfrac{5}{0}\) là số hữu tỉ" hoặc "0 không phải số hữu tỉ".
Mẫu phải khác 0, nên \(\dfrac{5}{0}\) không có nghĩa. Còn \(0 = \dfrac{0}{1}\) là số hữu tỉ (mẫu khác 0, tử bằng 0 vẫn được).
2Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số Lớp 7
Giống số nguyên ở lớp 6, mỗi số hữu tỉ cũng có một chỗ trên trục số. Trước hết, xem số hữu tỉ nằm ở phía nào của điểm 0.
Số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm
- Số hữu tỉ dương: lớn hơn 0, nằm bên phải điểm 0. Ví dụ \(\dfrac{5}{4}\), \(0{,}3\).
- Số hữu tỉ âm: nhỏ hơn 0, nằm bên trái điểm 0. Ví dụ \(-\dfrac{3}{4}\), \(-2\).
- Số 0 không phải số hữu tỉ dương, cũng không phải số hữu tỉ âm.
\(\text{âm} \;<\; 0 \;<\; \text{dương}\)
trên trục số: trái → 0 → phải
Quy tắc biểu diễn
Muốn biểu diễn số hữu tỉ \(x\) trên trục số:
- Viết \(x\) thành phân số \(\dfrac{a}{b}\) có mẫu dương (\(b > 0\)).
- Mẫu \(b\) cho biết chia mỗi đoạn đơn vị thành \(b\) phần bằng nhau; mỗi phần là \(\dfrac{1}{b}\).
- Tử \(a\) cho biết đếm mấy phần từ 0 và theo chiều nào: \(a\) dương thì sang phải, \(a\) âm thì sang trái.
\(\dfrac{a}{b}:\ \text{chia } b \text{ phần} \;\to\; \text{đếm } a \text{ phần}\)
đếm số phần bằng tử (không kể dấu), dấu của tử cho chiều; điểm biểu diễn số hữu tỉ \(x\) gọi là điểm \(x\)
Biểu diễn \(\dfrac{5}{4}\) và \(-\dfrac{3}{4}\): hiểu từng bước
- Bước 1
Viết thành phân số mẫu dương. \(\dfrac{5}{4}\) và \(\dfrac{-3}{4}\) đều có mẫu 4.
- Bước 2
Chia đơn vị theo mẫu. Chia mỗi đoạn đơn vị thành 4 phần bằng nhau
Mỗi phần là \(\dfrac{1}{4}\) (đơn vị mới).
- Bước 3
Đếm theo tử. Tử 5 dương: đếm 5 phần sang phải từ 0.
Tử \(-3\) âm: đếm 3 phần sang trái từ 0.
- Bước 4
Thử lại. \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\) nằm giữa 1 và 2
\(-\dfrac{3}{4} = -0{,}75\) nằm giữa \(-1\) và 0.
Khớp với Hình 2.
"Biểu diễn \(\dfrac{3}{-4}\): chia đơn vị thành \(-4\) phần" hoặc "chia đơn vị thành 3 phần".
Đổi về mẫu dương trước: \(\dfrac{3}{-4} = \dfrac{-3}{4}\). Mẫu (4) cho số phần chia; tử (\(-3\)) cho số phần đếm và chiều đếm.
Ghi nhớ
ĐỔI VỀ MẪU DƯƠNG → MẪU: CHIA MẤY PHẦN → TỬ: ĐẾM MẤY PHẦN (DƯƠNG SANG PHẢI · ÂM SANG TRÁI)
3Số đối Lớp 7
Định nghĩa
Mỗi số hữu tỉ \(x\) có một số đối là \(-x\): chỉ đổi dấu, giữ nguyên phần số.
\(\text{số đối của } x \text{ là } -x \qquad -(-x) = x\)
đổi dấu hai lần thì về lại số cũ
- Trên trục số: hai số đối nhau nằm ở hai phía của 0 và cách đều 0 (Hình 3: \(-\dfrac{3}{4}\) và \(\dfrac{3}{4}\)).
- Ví dụ: số đối của \(-0{,}4\) là \(0{,}4\); số đối của 0 là 0.
"Số đối của \(\dfrac{2}{5}\) là \(\dfrac{5}{2}\)."
\(\dfrac{5}{2}\) là số nghịch đảo. Số đối chỉ đổi dấu: \(-\dfrac{2}{5}\).
Ghi nhớ
SỐ ĐỐI = ĐỔI DẤU (KHÔNG ĐẢO TỬ VỚI MẪU) · HAI SỐ ĐỐI NHAU CÁCH ĐỀU 0
4So sánh hai số hữu tỉ Lớp 7
Tính chất
- Với hai số hữu tỉ \(x, y\) bất kì, luôn có đúng một trong ba trường hợp: \(x < y\), \(x = y\), \(x > y\).
- Bắc cầu: nếu \(x < y\) và \(y < z\) thì \(x < z\).
- Trên trục số: \(x < y\) nghĩa là điểm \(x\) nằm bên trái điểm \(y\).
\(x < y \;\text{ và }\; y < z \;\Rightarrow\; x < z\)
tính chất bắc cầu
Quy tắc so sánh
- Cách cơ bản: viết hai số thành phân số có cùng mẫu dương, rồi so tử: tử lớn hơn thì số lớn hơn.
- Theo dấu: mọi số âm nhỏ hơn 0, mọi số dương lớn hơn 0, nên số âm luôn nhỏ hơn số dương.
- Theo khoảng cách tới 0: hai số dương: số nào xa 0 hơn thì lớn hơn; hai số âm: số nào xa 0 hơn thì nhỏ hơn.
\(\dfrac{a}{m} < \dfrac{b}{m} \;\text{ khi }\; a < b \quad (m > 0)\)
cùng mẫu dương: so tử
So sánh hai số âm \(-\dfrac{2}{3}\) và \(-\dfrac{3}{4}\): hiểu từng bước
- Bước 1
Quy đồng mẫu dương. Mẫu chung 12: \(-\dfrac{2}{3} = \dfrac{-8}{12}\)
\(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-9}{12}\).
- Bước 2
So tử. \(-8 > -9\)
Nên \(-\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4}\).
- Bước 3
Hiểu bằng trục số (Hình 4). Chia đoạn từ \(-1\) đến 0 thành 12 phần.
\(-\dfrac{8}{12}\): đếm 8 phần sang trái
\(-\dfrac{9}{12}\): đếm 9 phần sang trái, nên nằm xa 0 hơn, ở bên trái, và nhỏ hơn.
- Bước 4
Thử lại. \(-\dfrac{2}{3} \approx -0{,}67\)
\(-\dfrac{3}{4} = -0{,}75\)
\(-0{,}67 > -0{,}75\).
| Hai số cùng dấu | Số xa 0 hơn | Ví dụ |
|---|---|---|
| Hai số dương | LỚN hơn | \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}\) |
| Hai số âm | NHỎ hơn | \(-\dfrac{3}{4} < -\dfrac{2}{3}\) |
📋 Các cách so sánh nhanh
| Cách | Khi nào dùng | Ví dụ |
|---|---|---|
| Quy đồng mẫu dương, so tử | Luôn dùng được | \(-\dfrac{2}{3} = -\dfrac{8}{12} > -\dfrac{9}{12} = -\dfrac{3}{4}\) |
| Đổi về số thập phân | Có số thập phân sẵn, phân số đổi được gọn | \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\); \(0{,}7 < 0{,}75\) nên \(0{,}7 < \dfrac{3}{4}\) |
| So với số trung gian (0, 1, \(\dfrac{1}{2}\)) | Hai số ở hai phía của một số quen | \(\dfrac{4}{9} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{9}\); \(\dfrac{5}{6} < 1 < \dfrac{7}{6}\) |
| Phần bù tới 1 Nâng cao | Hai phân số dương cùng gần 1 | \(\dfrac{7}{8} < \dfrac{8}{9}\) (Hình 5) |
Phần bù tới 1 Nâng cao: với phân số dương nhỏ hơn 1, phần còn thiếu để đủ 1 gọi là phần bù. \(\dfrac{7}{8}\) thiếu \(\dfrac{1}{8}\), \(\dfrac{8}{9}\) thiếu \(\dfrac{1}{9}\). Vì \(\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9}\), \(\dfrac{7}{8}\) thiếu nhiều hơn nên nhỏ hơn: \(\dfrac{7}{8} < \dfrac{8}{9}\). Không cần quy đồng mẫu 72.
"\(\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}\) nên \(-\dfrac{3}{4} > -\dfrac{2}{3}\)."
Đổi dấu thì đổi chiều: \(-\dfrac{3}{4} < -\dfrac{2}{3}\).
Ghi nhớ
SỐ ÂM < 0 < SỐ DƯƠNG · HAI SỐ ÂM: XA 0 HƠN THÌ NHỎ HƠN · ĐỔI DẤU THÌ ĐỔI CHIỀU
🎯 Liên hệ nâng cao
So sánh bằng phần bù và tìm số xen giữa hai số hữu tỉ là hai dạng hay gặp trong đề học sinh giỏi lớp 7. Giữa hai số hữu tỉ khác nhau bất kì luôn có vô số số hữu tỉ khác (xem Dạng 5 ở bài Các dạng bài).
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Số hữu tỉ: viết được dạng \(\dfrac{a}{b}\), \(a, b\) nguyên, \(b \ne 0\). \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\).
- Trục số: số dương bên phải 0, số âm bên trái 0. Biểu diễn: mẫu dương cho số phần chia, tử cho số phần đếm và chiều đếm.
- Số đối của \(x\) là \(-x\); \(-(-x) = x\).
- So sánh: quy đồng mẫu dương; hoặc dùng số trung gian, phần bù.
- Số âm: xa 0 hơn thì nhỏ hơn.
\(\dfrac{2}{4}\) và \(\dfrac{1}{2}\) là hai số hữu tỉ khác nhau phải không?
Không. Hai phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ, cùng một điểm trên trục số. Thường ta dùng phân số tối giản \(\dfrac{1}{2}\).
Có số hữu tỉ nhỏ nhất hay lớn nhất không?
Không. Với mọi số hữu tỉ \(x\), số \(x - 1\) nhỏ hơn và \(x + 1\) lớn hơn nó.
Số nào không phải là số hữu tỉ?
Có những số không viết được dưới dạng phân số, ví dụ \(\sqrt{2}\). Em sẽ học các số này (số vô tỉ) ở Bài 6.