HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 5 dạng toán của Bài 4 và một bảng ôn tập cả Chương I. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Cuối bài có bảng "Thấy gì, dùng gì" để ôn nhanh.
Dạng 1. Thứ tự thực hiện các phép tính Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Tính", "thực hiện phép tính" với nhiều phép tính khác loại.
- Nhiều tầng ngoặc \((\;)\), \([\;]\), \(\{\;\}\).
- Có hỗn số âm (dấu trừ đứng trước cả hỗn số), số thập phân.
- Hai thương có chung số chia, hoặc các lũy thừa cùng số mũ: tính hợp lý được.
Hướng làm
- Bước 1
Nhìn trước chỗ tính hợp lý. Hai thương chung số chia thì gộp: \(a : c + b : c = (a + b) : c\) (\(c \ne 0\)).
Lũy thừa cùng số mũ thì gộp cơ số: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
\(a^n : b^n = (a : b)^n\) (\(b \ne 0\)).
- Bước 2
Đổi hỗn số, số thập phân về phân số khi cần cộng, trừ. Hỗn số âm: \(-2\dfrac{5}{6} = -\left(2 + \dfrac{5}{6}\right) = -\dfrac{17}{6}\).
- Bước 3
Làm từ ngoặc trong cùng ra ngoài. Trong mỗi tầng: lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ
Các phép cùng cấp làm từ trái sang phải.
Viết mỗi bước một dòng.
Ví dụ 1
Tính:
a) \(\left(\dfrac{3}{4} - 1\right)^2 \cdot 8 - \dfrac{1}{5} : \left(-\dfrac{1}{4}\right)\);
b) \(\left[-1\dfrac{1}{2} + 0{,}75 \cdot \left(\dfrac{2}{3} - 2\right)\right] : \dfrac{5}{4}\);
c) \(\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}\right) : \dfrac{5}{7} + \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{5}{7}\);
d) \((0{,}25)^5 \cdot 4^5 - (-15)^3 : 5^3\).
Lời giải:
a) Ngoặc: \(\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{1}{4}\).
Lũy thừa: \(\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}\).
Nhân, chia: \(\dfrac{1}{16} \cdot 8 = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{5} : \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{5} \cdot (-4) = -\dfrac{4}{5}\).
Trừ: \(\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{5}{10} + \dfrac{8}{10} = \dfrac{13}{10}\).
b) Đổi: \(-1\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}\)
\(0{,}75 = \dfrac{3}{4}\).
Ngoặc tròn, rồi nhân: \(\dfrac{2}{3} - 2 = -\dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{3}{4} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -1\).
Ngoặc vuông, rồi chia: \(-\dfrac{3}{2} + (-1) = -\dfrac{5}{2}\)
\(-\dfrac{5}{2} : \dfrac{5}{4} = -\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = -2\).
c) Hai thương chung số chia \(\dfrac{5}{7}\): gộp.
\(\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{5}{7}\)
\(= \dfrac{3 - 4 + 5 - 2}{6} : \dfrac{5}{7}\)
\(= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{7}{15}\).
d) Cùng số mũ thì gộp cơ số. \((0{,}25)^5 \cdot 4^5 = (0{,}25 \cdot 4)^5 = 1^5 = 1\)
\((-15)^3 : 5^3 = (-15 : 5)^3 = (-3)^3 = -27\).
Trừ: \(1 - (-27) = 1 + 27 = 28\).
Đáp số: a) \(\dfrac{13}{10}\); b) \(-2\); c) \(\dfrac{7}{15}\); d) \(28\)
a) \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} : \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{3}{10} : \left(-\dfrac{1}{4}\right)\) (trừ trước khi chia).
Chia trước: \(\dfrac{1}{5} : \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{4}{5}\), rồi mới trừ.
b) \(-1\dfrac{1}{2} = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}\), ra \(\left(-\dfrac{1}{2} - 1\right) : \dfrac{5}{4} = -\dfrac{6}{5}\).
Dấu trừ đứng trước cả hỗn số: \(-1\dfrac{1}{2} = -\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}\).
Chung số bị chia mà gộp: \(\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} : \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\right) = 1\).
Chỉ gộp được khi chung số chia. Ở đây tính riêng: \(\dfrac{3}{2} + 3 = \dfrac{9}{2}\).
d) \((-15)^3 : 5^3 = 3^3 = 27\), ra \(1 - 27 = -26\) (bỏ mất dấu).
Mũ 3 lẻ giữ dấu: \((-3)^3 = -27\), nên \(1 - (-27) = 28\).
Dạng 2. Tìm \(x\) bằng quy tắc chuyển vế Lớp 7
Nhận biết
Đề "Tìm \(x\)", trong đó \(x\) nằm ở một trong các chỗ:
- Trong ngoặc có dấu "−" đứng trước (bỏ ngoặc phải đổi dấu mọi số hạng).
- Ở cả hai vế.
- Có hệ số, đứng sau dấu trừ: \(\dfrac{1}{2} - 3x = \ldots\)
- Ở số chia, hoặc cả ngoặc chứa \(x\) là số chia, số bị chia.
Hướng làm
- Bước 1
Xử lý ngoặc chứa \(x\). Bỏ ngoặc (đổi dấu nếu trước ngoặc là "−"), hoặc che cả ngoặc bằng một ô ? và tìm ô trước.
Ngoặc là số chia, số bị chia, thừa số thì phải che ngoặc.
- Bước 2
Chuyển vế. Mọi số hạng chứa \(x\) sang một vế, các số sang vế kia (đổi dấu).
Gộp các số hạng chứa \(x\) bằng tính chất phân phối.
- Bước 3
Tìm thành phần. Thừa số = tích : thừa số kia (khác 0).
Số chia = số bị chia : thương.
Số bị chia = thương · số chia.
- Bước 4
Thay lại để kiểm tra.
Ví dụ 2
Tìm \(x\), biết:
a) \(x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{6} - x\);
b) \(\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5}{12}\);
c) \(\dfrac{1}{2} - 3x = \dfrac{5}{4}\);
d) \(\dfrac{5}{3} : x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\).
Lời giải:
a) Chuyển \(-x\) sang trái, \(\dfrac{3}{4}\) sang phải: \(x + x = \dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}\)
Tức \(2x = \dfrac{2}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{7}{12}\)
Nên \(x = -\dfrac{7}{24}\).
Kiểm tra a): \(-\dfrac{7}{24} + \dfrac{18}{24} = \dfrac{11}{24}\)
\(\dfrac{4}{24} + \dfrac{7}{24} = \dfrac{11}{24}\) ✓.
b) Bỏ ngoặc, đổi dấu: \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}\).
Chuyển vế: \(-\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5 - 6 - 3}{12} = -\dfrac{1}{3}\).
Vậy \(x = -\dfrac{1}{3} : \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\).
Kiểm tra b): \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}\)
\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}\) ✓.
c) Số hạng \(-3x\) chuyển sang phải thành \(+3x\), \(\dfrac{5}{4}\) sang trái thành \(-\dfrac{5}{4}\)
\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{4} = 3x\)
Tức \(3x = -\dfrac{3}{4}\)
Nên \(x = -\dfrac{3}{4} : 3 = -\dfrac{1}{4}\).
Kiểm tra c): \(\dfrac{1}{2} - 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}\) ✓.
d) Chuyển \(-\dfrac{1}{2}\) sang phải: \(\dfrac{5}{3} : x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\).
\(x\) là số chia: \(x = \dfrac{5}{3} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 2\).
Kiểm tra d): \(\dfrac{5}{3} : 2 = \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\) ✓.
Đáp số: a) \(x = -\dfrac{7}{24}\); b) \(x = \dfrac{1}{2}\); c) \(x = -\dfrac{1}{4}\); d) \(x = 2\)
b) Bỏ ngoặc thành \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4}\) (chỉ đổi dấu số hạng đầu trong ngoặc).
Dấu "−" trước ngoặc đổi dấu cả \(-\dfrac{1}{4}\) thành \(+\dfrac{1}{4}\).
d) \(\dfrac{5}{3} : x = \dfrac{5}{6} \Rightarrow x = \dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{2}\) (đảo nhầm số bị chia và thương).
Số chia = số bị chia : thương: \(x = \dfrac{5}{3} : \dfrac{5}{6} = 2\). Thử \(x = \dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{5}{3} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{3} \ne \dfrac{5}{6}\).
Ví dụ 3 (ngoặc chứa \(x\) là số chia, số bị chia)
Tìm \(x\), biết:
a) \(1\dfrac{1}{2} : \left(3x - \dfrac{1}{2}\right) = 0{,}6\);
b) \(\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{4}\right) : \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2\).
Lời giải:
a) Đổi: \(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
\(0{,}6 = \dfrac{3}{5}\).
Che ngoặc bằng ô ?: \(\dfrac{3}{2} : \text{?} = \dfrac{3}{5}\).
Ô ? là số chia: \(\text{?} = \dfrac{3}{2} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{2}\).
Mở ô: \(3x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\)
\(3x = 3\)
\(x = 1\).
Kiểm tra a): \(3 \cdot 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\)
\(\dfrac{3}{2} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) ✓.
b) Lũy thừa: \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\).
Ô ? là số bị chia: \(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{4} = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Chuyển vế: \(\dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}\)
\(x = \dfrac{5}{4} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Kiểm tra b): \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = 2\) ✓.
Đáp số: a) \(x = 1\); b) \(x = \dfrac{5}{2}\)
b) Chuyển \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\) sang phải bằng phép trừ: \(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{4} = 2 - \dfrac{1}{4}\), ra \(x = 5\).
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\) là số chia, không phải số hạng: số bị chia = thương · số chia \(= 2 \cdot \dfrac{1}{4}\).
Dạng 3. Tìm \(x\) nâng cao: cộng thêm 1, hai nhánh, tổng lũy thừa chẵn Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Nhiều phân số có tử + mẫu bằng nhau (\(x + 1\) với 5, \(x + 2\) với 4…), hoặc tử − mẫu bằng nhau (\(x - 1\) với 9, \(x - 2\) với 8…).
- Các tử đã giống nhau sẵn (\(x + 3\) ở mọi tử).
- Cần kiểm: hai vế có cùng số phân số thì mới cộng (trừ) 1 được.
- Một lũy thừa chứa \(x\) bị trừ hoặc nhân: \(\dfrac{1}{2} - 2\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \ldots\)
- Tổng các lũy thừa bậc chẵn bằng 0 hoặc \(\le 0\).
Hướng làm
- Cách 1
Cộng 1 (hoặc trừ 1) vào mỗi phân số. \(\dfrac{x + 1}{5} + 1 = \dfrac{x + 1}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{x + 6}{5}\)
Mọi tử thành \(x + 6\).
Điều kiện: hai vế có cùng số phân số, để hai vế cùng cộng (trừ) một số.
Chuyển vế, đặt thừa số chung
Tính hoặc so sánh để chỉ ra ngoặc còn lại khác 0, rồi cho thừa số chung bằng 0.
Không chia hai vế cho biểu thức chứa \(x\).
- Cách 2
Lũy thừa chứa \(x\): che lũy thừa, tìm nó như Dạng 2. Nếu \(A^2 = c^2\) (\(c > 0\)) thì có hai nhánh: \(A = c\) hoặc \(A = -c\).
- Cách 3
Lũy thừa bậc chẵn luôn \(\ge 0\). Tổng các số không âm bằng 0 (hoặc \(\le 0\)) thì từng số bằng 0.
Ví dụ 4
a) Tìm \(x\) biết \(\dfrac{x + 1}{5} + \dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{x + 3}{3} + \dfrac{x + 4}{2}\).
b) Tìm \(x\) biết \(\dfrac{x - 1}{9} + \dfrac{x - 2}{8} = \dfrac{x - 3}{7} + \dfrac{x - 4}{6}\).
c) Tìm \(x\) biết \(\dfrac{x + 3}{2} + \dfrac{x + 3}{3} = \dfrac{x + 3}{4}\).
d) Tìm \(x\) biết \(\dfrac{1}{2} - 2\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{5}{18}\).
e) Tìm \(x, y\) biết \(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 + (y + 2)^4 \le 0\).
Lời giải:
a) Tử + mẫu đều bằng \(x + 6\)
Mỗi vế 2 phân số. Cộng 1 vào mỗi phân số (hai vế cùng cộng 2): \(\dfrac{x + 6}{5} + \dfrac{x + 6}{4} = \dfrac{x + 6}{3} + \dfrac{x + 6}{2}\).
Chuyển vế: \((x + 6)\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\right) = 0\).
Ngoặc bằng \(\dfrac{12 + 15 - 20 - 30}{60} = -\dfrac{23}{60} \ne 0\)
Nên \(x + 6 = 0\)
\(x = -6\).
Kiểm tra a): \(\dfrac{-5}{5} + \dfrac{-4}{4} = -2\) và \(\dfrac{-3}{3} + \dfrac{-2}{2} = -2\) ✓.
b) Tử − mẫu đều bằng \(x - 10\)
Mỗi vế 2 phân số. Trừ 1 vào mỗi phân số (hai vế cùng trừ 2): \(\dfrac{x - 10}{9} + \dfrac{x - 10}{8} = \dfrac{x - 10}{7} + \dfrac{x - 10}{6}\).
Chuyển vế: \((x - 10)\left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6}\right) = 0\).
Vì \(\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{7}\) và \(\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{6}\) nên ngoặc âm, khác 0.
Vậy \(x = 10\).
Kiểm tra b): \(\dfrac{9}{9} + \dfrac{8}{8} = 2\) và \(\dfrac{7}{7} + \dfrac{6}{6} = 2\) ✓.
c) Tử đã giống nhau: chuyển vế, đặt thừa số chung: \((x + 3)\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) = 0\).
Ngoặc bằng \(\dfrac{7}{12} \ne 0\)
Nên \(x = -3\).
Kiểm tra c): với \(x = -3\) mọi tử bằng 0, hai vế cùng bằng 0 ✓.
d) Che lũy thừa: \(2 \cdot \left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{18} = \dfrac{9}{18} - \dfrac{5}{18} = \dfrac{2}{9}\)
Nên \(\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\).
Hai nhánh: \(\dfrac{1}{9} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2\).
Nhánh 1: \(x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\)
\(x = 0\).
Nhánh 2: \(x + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{3}\)
\(x = -\dfrac{2}{3}\).
Kiểm tra d): cả hai giá trị cho \(\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\)
\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}\) ✓.
e) \(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 \ge 0\) và \((y + 2)^4 \ge 0\), nên tổng \(\ge 0\).
Tổng vừa \(\ge 0\) vừa \(\le 0\) nên bằng 0, và mỗi số hạng bằng 0: \(x = \dfrac{1}{3}\)
\(y = -2\).
Kiểm tra e): \(0^2 + 0^4 = 0 \le 0\) ✓.
Đáp số: a) \(x = -6\); b) \(x = 10\); c) \(x = -3\); d) \(x = 0\) hoặc \(x = -\dfrac{2}{3}\); e) \(x = \dfrac{1}{3}\), \(y = -2\)
a) Chia hai vế cho \(x + 6\): được \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\), vô lý, kết luận "không có \(x\)".
Không chia cho biểu thức có thể bằng 0. Đặt thừa số chung, xét tích bằng 0: ngoặc khác 0 nên \(x + 6 = 0\).
\(\dfrac{x + 1}{5} + \dfrac{x + 2}{4} + \dfrac{x + 3}{3}\)
\(= \dfrac{x + 4}{2} + \dfrac{x + 5}{1}\):
cộng 1 vào mỗi phân số rồi kết luận \(x = -6\).
Vế trái 3 phân số, vế phải 2: hai vế cộng thêm khác nhau, đẳng thức không còn đúng. Thử \(x = -6\): vế trái \(-3\), vế phải \(-2\).
d) \(\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} \Rightarrow x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\), chỉ được \(x = 0\).
Mũ chẵn có hai nhánh (số đó và số đối): thêm \(x + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{3}\), \(x = -\dfrac{2}{3}\).
Dạng 4. Bài toán thực tế: lập biểu thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Bài toán về tiền: mua, trả, được trả lại.
- Nhiệt độ, độ cao so với mực nước biển: dưới mực nước biển là số âm.
- Cụm "một phần của …": phân số của một đại lượng.
- Số liệu là số thập phân, hỗn số.
Hướng làm
- Bước 1
Viết một biểu thức có ngoặc đúng chỗ cho toàn bộ bài ("tổng tiền phải trả" là một ngoặc).
Khoảng cách luôn dương: ở độ cao \(-a\) m thì cách mặt nước \(a\) m.
- Bước 2
Đi lên, tăng thì cộng
Đi xuống, giảm thì trừ.
- Bước 3
Tính theo đúng thứ tự, trả lời bằng lời có đơn vị, xem kết quả có hợp lý không.
Ví dụ 5
a) Mẹ mua \(2{,}5\) kg táo giá 48 nghìn đồng/kg và \(1\dfrac{3}{4}\) kg nho giá 120 nghìn đồng/kg. Mẹ đưa 500 nghìn đồng. Người bán trả lại bao nhiêu?
b) Một thợ lặn đang ở độ cao \(-24{,}8\) m so với mực nước biển. Người đó bơi lên một đoạn bằng \(\dfrac{1}{4}\) khoảng cách từ chỗ mình tới mặt nước, rồi lặn xuống thêm \(3{,}5\) m. Hỏi thợ lặn đang ở độ cao bao nhiêu?
Lời giải:
a) Biểu thức: \(500 - \left(2{,}5 \cdot 48 + 1\dfrac{3}{4} \cdot 120\right)\).
Trong ngoặc: \(2{,}5 \cdot 48 = 120\)
\(1\dfrac{3}{4} \cdot 120 = \dfrac{7}{4} \cdot 120 = 210\)
Tổng 330.
Trả lại \(500 - 330 = 170\) nghìn đồng.
b) Khoảng cách tới mặt nước: \(24{,}8\) m.
Bơi lên \(\dfrac{1}{4} \cdot 24{,}8 = 6{,}2\) m (cộng), lặn xuống \(3{,}5\) m (trừ).
Biểu thức:
\(-24{,}8 + \dfrac{1}{4} \cdot 24{,}8 - 3{,}5\)
\(= -24{,}8 + 6{,}2 - 3{,}5 = -22{,}1\) (m).
Kiểm tra b): lên \(6{,}2\) m, xuống \(3{,}5\) m, tổng cộng lên \(2{,}7\) m
\(-24{,}8 + 2{,}7 = -22{,}1\)
Vẫn dưới mặt nước, hợp lý ✓.
Đáp số: a) 170 nghìn đồng; b) \(-22{,}1\) m
a) \(500 - 2{,}5 \cdot 48 + 1\dfrac{3}{4} \cdot 120\) (quên ngoặc: tiền nho bị cộng thêm vào).
Tổng tiền phải trả đặt trong một ngoặc, rồi mới lấy 500 trừ đi.
b) Lấy \(\dfrac{1}{4} \cdot (-24{,}8) = -6{,}2\) rồi cộng: \(-24{,}8 - 6{,}2 - 3{,}5 = -34{,}5\) (bơi lên mà lại sâu hơn).
Khoảng cách là số dương \(24{,}8\); bơi lên thì cộng \(6{,}2\), được \(-22{,}1\).
Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức với tổng dãy Nâng cao
Nhận biết
Đề cho một tổng nhiều số hạng và yêu cầu chứng minh tổng nhỏ hơn một số. Chọn cách theo mẫu số:
- Mẫu là lũy thừa cùng cơ số (\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots\)): Cách 1.
- Mẫu là tích hai số liên tiếp, hoặc tử \(2k + 1\) mẫu \(k^2(k + 1)^2\): Cách 2.
- Mẫu là bình phương (\(\dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots\)), không tính được tổng: Cách 3.
- Tử tăng dần theo mẫu (\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + \ldots\)): Cách 1 làm hai lần.
Hướng làm
- Cách 1
Nhân cơ số rồi trừ. Nhân \(S\) với cơ số \(q\), đặt hai hàng thẳng cột: các số hạng giống nhau triệt tiêu, còn \((q - 1)S = 1 - \dfrac{1}{q^n}\).
Chia cho \(q - 1\) rồi mới so sánh.
- Cách 2
Tách hiệu (Bài 2). \(\dfrac{1}{(k - 1)k} = \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k}\)
\(\dfrac{2k + 1}{k^2(k + 1)^2} = \dfrac{1}{k^2} - \dfrac{1}{(k + 1)^2}\) vì \((k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1\).
Các số ở giữa triệt tiêu.
- Cách 3
Không tính được tổng: chặn. Thay mỗi số hạng bằng một số lớn hơn mà tổng tính được, ví dụ \(\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{(k - 1)k}\) vì \(k^2 > (k - 1)k\).
Ví dụ 6 (Cách 1)
Chứng minh:
a) \(S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{10}} < 1\);
b) \(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots + \dfrac{1}{4^{20}} < \dfrac{1}{3}\).
Lời giải:
a) \(2S = 1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2^9}\).
Lấy \(2S - S\): các số từ \(\dfrac{1}{2}\) đến \(\dfrac{1}{2^9}\) triệt tiêu, còn \(S = 1 - \dfrac{1}{2^{10}}\).
Vì \(\dfrac{1}{2^{10}} > 0\) nên \(S < 1\).
b) \(4S = 1 + \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{4^{19}}\).
Lấy \(4S - S\): các số từ \(\dfrac{1}{4}\) đến \(\dfrac{1}{4^{19}}\) triệt tiêu, còn \(3S = 1 - \dfrac{1}{4^{20}} < 1\).
Chia cho 3: \(S < \dfrac{1}{3}\).
Kết luận: a) \(S = 1 - \dfrac{1}{2^{10}} < 1\); b) \(3S = 1 - \dfrac{1}{4^{20}}\), nên \(S < \dfrac{1}{3}\)
b) \(4S - S = 1 - \dfrac{1}{4^{20}}\) rồi kết luận \(S < 1\) (quên rằng \(4S - S = 3S\)).
\(4S - S = 3S\); chia cho 3 mới ra \(S < \dfrac{1}{3}\). Chỉ khi cơ số là 2 thì \(2S - S = S\).
Ví dụ 7 (Cách 3: chặn)
Chứng minh \(S = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots + \dfrac{1}{40^2} < \dfrac{1}{2}\).
Lời giải:
Chặn từng số hạng: với \(k \ge 3\), \(k^2 > (k - 1)k\) nên \(\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{(k - 1)k}\).
Cộng lại: \(S < \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{39 \cdot 40}\).
Tách hiệu: vế phải
\(= \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right)\)
\(+ \ldots + \left(\dfrac{1}{39} - \dfrac{1}{40}\right)\)
\(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{40}\).
Kết luận: \(S < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{40} < \dfrac{1}{2}\).
Kết luận: \(S < \dfrac{1}{2}\)
Chặn \(\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k(k + 1)}\) (thay bằng số nhỏ hơn, chặn sai chiều).
Muốn chứng minh "nhỏ hơn" thì phải thay mỗi số hạng bằng số lớn hơn: \(k^2 > (k - 1)k\) nên \(\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{(k - 1)k}\).
Ví dụ 8 (Cách 2 và Cách 1 làm hai lần)
Chứng minh:
a) \(\dfrac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \dfrac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \ldots + \dfrac{21}{10^2 \cdot 11^2} < \dfrac{1}{4}\);
b) \(T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + \ldots + \dfrac{10}{2^{10}} < 2\).
Lời giải:
a) Tách hiệu: các tử 5, 7, …, 21 có dạng \(2k + 1\) với \(k = 2, 3, \ldots, 10\), và \((k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1\), nên \(\dfrac{2k + 1}{k^2(k + 1)^2} = \dfrac{1}{k^2} - \dfrac{1}{(k + 1)^2}\).
Tổng
\(= \left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2}\right) + \left(\dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{4^2}\right)\)
\(+ \ldots + \left(\dfrac{1}{10^2} - \dfrac{1}{11^2}\right)\)
\(= \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{121} < \dfrac{1}{4}\).
b) Nhân 2: \(2T = 1 + \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2^2} + \ldots + \dfrac{10}{2^9}\).
Trừ từng cặp cùng mẫu: \(\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{3}{2^2} - \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{1}{2^2}\)
…, nên \(T = 2T - T\)
\(= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^9} - \dfrac{10}{2^{10}}\).
Làm Cách 1 lần nữa (như Ví dụ 6a): \(1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2^9} = 2 - \dfrac{1}{2^9}\).
Vậy \(T = 2 - \dfrac{1}{2^9} - \dfrac{10}{2^{10}} < 2\).
Kết luận: a) tổng \(= \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{121} < \dfrac{1}{4}\); b) \(T = 2 - \dfrac{12}{2^{10}} < 2\)
📋 Ôn tập Chương I: dạng bài và bài học
| Dạng | Học ở | Bài ôn trong đề cương TĐN |
|---|---|---|
| So sánh, sắp xếp, tìm số xen giữa | Bài 1 | Ôn chương Bài 1, 2, 3 |
| Tính hợp lý, tổng dãy tách hiệu | Bài 2 | Ôn chương Bài 6b |
| Lũy thừa: rút gọn, chia hết, tìm số mũ | Bài 3 | Ôn chương Bài 4c, d; 5; 8; 9 |
| Tìm \(x\) nâng cao, chặn tổng dãy | Bài 4 | Ôn chương Bài 4a, b; 6; 7 |
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| "Tính", nhiều tầng ngoặc, hỗn số, số thập phân, lũy thừa (Dạng 1) | Tìm chỗ tính hợp lý (chung số chia, cùng số mũ) → ngoặc trong ra ngoài → lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ | Trừ trước khi nhân; \(-1\tfrac{1}{2} \ne -1 + \tfrac{1}{2}\); gộp hai thương chung số bị chia |
| "Tìm \(x\)": \(x\) trong ngoặc, sau dấu trừ, ở số chia (Dạng 2) | Bỏ ngoặc hoặc che ngoặc bằng ô ? → chuyển vế, đổi dấu → tìm thành phần → thử lại | Bỏ ngoặc quên đổi dấu số hạng sau; đảo nhầm số chia; chuyển vế một số chia |
| Tử ± mẫu giống nhau; lũy thừa chứa \(x\); tổng lũy thừa chẵn (Dạng 3) | Cộng (trừ) 1 khi hai vế cùng số phân số → thừa số chung, ngoặc khác 0; tách hai nhánh; mỗi số hạng bằng 0 | Chia hai vế cho \(x + k\); quên nhánh số đối; cộng 1 khi hai vế khác số phân số |
| Tiền, nhiệt độ, độ cao, "một phần của" (Dạng 4) | Một biểu thức có ngoặc; khoảng cách luôn dương; lên cộng, xuống trừ | Quên ngoặc tổng tiền; nhân phân số với độ cao âm |
| "Chứng minh tổng nhỏ hơn …" (Dạng 5) | Mẫu lũy thừa: nhân cơ số rồi trừ; mẫu tích: tách hiệu; mẫu bình phương: chặn bằng số lớn hơn | Quên chia cho \(q - 1\); chặn sai chiều |