HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài cuối của Chương I. Em đã biết bốn phép tính và lũy thừa với số hữu tỉ; bài này dạy hai công cụ để dùng chúng cho đúng và nhanh: thứ tự thực hiện các phép tính và quy tắc chuyển vế. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Tính đúng một biểu thức nhiều tầng ngoặc, có lũy thừa, nhân chia, cộng trừ.
- Chuyển một số hạng sang vế kia của đẳng thức và đổi dấu đúng, kể cả khi \(x\) đứng sau dấu trừ hoặc nằm trong ngoặc.
- Tìm \(x\) khi \(x\) nằm ở nhiều chỗ, ở số chia, hoặc trong lũy thừa (luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 2 và Dạng 3).
- Lập biểu thức cho một bài toán thực tế rồi tính (Dạng 4).
- Giải các bài nâng cao: cộng thêm 1 để lộ thừa số chung, chặn một tổng dãy (Dạng 3 và Dạng 5).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là cách làm nhanh hoặc mở rộng ngoài sách.
Nhớ lại các bài trước
1. Quy tắc dấu ngoặc Lớp 7 · Bài 2
Dấu "+" trước ngoặc thì bỏ ngoặc giữ nguyên dấu các số hạng bên trong. Dấu "−" trước ngoặc thì bỏ ngoặc phải đổi dấu mọi số hạng bên trong: \(\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\).
2. Tìm thành phần chưa biết Lớp 6
- Số hạng = tổng − số hạng kia.
- Số bị trừ = hiệu + số trừ; số trừ = số bị trừ − hiệu.
- Thừa số = tích : thừa số kia (thừa số kia khác 0).
- Số bị chia = thương · số chia; số chia = số bị chia : thương.
3. Lũy thừa Lớp 7 · Bài 3
Cơ số âm, mũ chẵn ra dương: \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\).
1Thứ tự thực hiện các phép tính Lớp 7
Quy tắc
Thứ tự thực hiện các phép tính với số hữu tỉ giống như với số nguyên ở lớp 6.
Biểu thức không có dấu ngoặc
- Có đủ các phép: lũy thừa → nhân và chia → cộng và trừ.
- Chỉ có cộng, trừ (hoặc chỉ có nhân, chia): làm từ trái sang phải.
Biểu thức có dấu ngoặc
- Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
- Nhiều tầng ngoặc: làm từ trong ra ngoài, theo thứ tự \((\;) \to [\;] \to \{\;\}\). Trong mỗi ngoặc vẫn theo thứ tự lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ.
Tính \(5 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} - 1\right)^2\): hiểu từng bước
- Bước 1
Ngoặc trước. \(\dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3}\).
Vì sao? Lũy thừa áp dụng cho cả ngoặc, nên phải biết ngoặc bằng bao nhiêu.
- Bước 2
Lũy thừa. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\).
Số 2 phía trước chỉ nhân với kết quả lũy thừa, không nằm trong lũy thừa.
- Bước 3
Nhân. \(2 \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{9}\).
Phép nhân "dính" chặt hơn phép trừ: \(5 - 2 \cdot (\ldots)\) nghĩa là 5 trừ đi cả tích.
- Bước 4
Cuối cùng mới trừ. \(5 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{37}{9}\).
Thử lại bằng số thập phân: \(5 - 0{,}888\ldots \approx 4{,}11\) và \(\dfrac{37}{9} \approx 4{,}11\) ✓.
\(5 - 2 \cdot \dfrac{4}{9} = 3 \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{3}\) (trừ trước rồi mới nhân).
Nhân trước: \(5 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{37}{9}\).
\(5 - 2 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = 5 - \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 = 5 - \dfrac{16}{9} = \dfrac{29}{9}\) (đưa số 2 vào trong lũy thừa).
Lũy thừa trước, nhân sau: \(5 - 2 \cdot \dfrac{4}{9} = 5 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{37}{9}\).
Ngoặc nhiều tầng: bóc từ trong ra ngoài
Tính \(2 : \left\{\dfrac{3}{4} - \left[\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 9\right]\right\}\).
- Bước 1
Tìm ngoặc trong cùng. Ngoặc tròn nằm trong ngoặc vuông, ngoặc vuông nằm trong ngoặc nhọn.
\(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{6}\).
- Bước 2
Ra ngoài một tầng: ngoặc vuông. Trong ngoặc vẫn theo thứ tự lũy thừa → nhân → trừ.
\(\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{36}\)
\(\dfrac{1}{36} \cdot 9 = \dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).
- Bước 3
Ngoặc nhọn ngoài cùng. \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
- Bước 4
Ra ngoài mọi ngoặc. \(2 : \dfrac{1}{2} = 2 \cdot 2 = 4\).
Các phép cùng cấp: từ trái sang phải
Nhân và chia: \(\dfrac{4}{5} : 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}\).
Cộng và trừ: \(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Nhân không "mạnh" hơn chia, cộng không "mạnh" hơn trừ: phép nào đứng trước (bên trái) thì làm trước.
\(\dfrac{4}{5} : 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{5} : 1 = \dfrac{4}{5}\) (thấy phép nhân là làm trước).
Nhân, chia ngang hàng nhau: đi từ trái sang phải, được \(\dfrac{1}{5}\).
\(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) (cộng \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\) trước).
Phép trừ đứng trước nên làm trước: \(1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\), rồi \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Ghi nhớ
NGOẶC (TRONG → NGOÀI) → LŨY THỪA → NHÂN, CHIA → CỘNG, TRỪ · CÙNG CẤP: TRÁI → PHẢI
2Quy tắc chuyển vế Lớp 7
Quy tắc
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó:
- Dấu "+" thành dấu "−".
- Dấu "−" thành dấu "+".
- Cơ sở: cộng (hoặc trừ) cùng một số ở cả hai vế thì đẳng thức vẫn đúng.
\(x + y = z \Rightarrow x = z - y\)
\(x - y = z \Rightarrow x = z + y\)
Với mọi \(x, y, z \in \mathbb{Q}\). Số hạng qua dấu "=" thì đổi dấu.
Vì sao phải đổi dấu: hiểu \(x + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Đẳng thức như một cái cân thăng bằng: hai vế bằng nhau.
- Bước 2
Làm cùng một việc ở hai vế. Bớt \(\dfrac{2}{3}\) ở cả hai vế thì cân vẫn thăng bằng: \(x + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3}\).
- Bước 3
Nhìn kết quả. Vế trái chỉ còn \(x\) vì \(+\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} = 0\).
Vế phải xuất hiện \(-\dfrac{2}{3}\).
Trông như \(+\dfrac{2}{3}\) đã "đi sang" vế phải và đổi dấu.
Đó chính là quy tắc chuyển vế: một cách viết tắt của việc cộng (trừ) cùng một số ở hai vế.
- Bước 4
Thử lại. \(x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{6}\)
\(-\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{1}{2}\) ✓.
Ví dụ tự kiểm tra: \(x - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2}\)
Chuyển \(-\dfrac{3}{4}\) sang vế phải thành \(+\dfrac{3}{4}\):
\(x = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Thử lại: \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\) ✓.
⚖️ Phân biệt số hạng và thừa số
| Thành phần | Muốn đưa sang vế kia | Ví dụ |
|---|---|---|
| Số hạng (nối bằng dấu + hoặc −) | Chuyển vế, đổi dấu | \(x + \dfrac{2}{3} = 1 \Rightarrow x = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) |
| Thừa số (nối bằng dấu nhân) | Chia hai vế cho thừa số đó (khác 0) | \(\dfrac{2}{3}x = 1 \Rightarrow x = 1 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\) |
\(x + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10} \Rightarrow x = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{5}\) (chuyển vế mà quên đổi dấu).
\(x = \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{10}\). Mỗi lần chuyển một số hạng qua dấu "=", dấu của nó đổi.
\(\dfrac{2}{3}x = 1 \Rightarrow x = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) (chuyển vế một thừa số).
\(\dfrac{2}{3}\) là thừa số (khác 0) nên chia hai vế cho nó: \(x = 1 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\).
Khi \(x\) đứng sau dấu trừ: \(\dfrac{3}{4} - x = \dfrac{1}{3}\)
Số hạng chứa \(x\) mang dấu "−". Chuyển nó sang vế phải thành \(+x\), chuyển \(\dfrac{1}{3}\) sang vế trái thành \(-\dfrac{1}{3}\):
\(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = x\), tức \(x = \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Thử lại: \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\) ✓.
\(\dfrac{3}{4} - x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{5}{12}\) (quên rằng \(x\) đang mang dấu "−").
\(x\) là số trừ: \(x = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12}\). Thay \(x = -\dfrac{5}{12}\) thì \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{6} \ne \dfrac{1}{3}\).
Khi \(x\) nằm trong ngoặc: \(\dfrac{2}{3} - \left(x + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{6}\)
Cả ngoặc \(\left(x + \dfrac{1}{4}\right)\) là một số hạng mang dấu "−". Số \(\dfrac{1}{4}\) nằm trong ngoặc, chưa phải số hạng của vế trái nên chưa chuyển được.
Cách 1, tìm cả ngoặc trước:
\(x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\(x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Cách 2, bỏ ngoặc trước (dấu "−" trước ngoặc thì đổi dấu):
\(\dfrac{2}{3} - x - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}\)
\(x = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{4}\).
Thử lại: \(\dfrac{2}{3} - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\) ✓.
Chuyển ngay \(\dfrac{1}{4}\) đang nằm trong ngoặc: \(\dfrac{2}{3} - x = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{4}\), ra \(x = \dfrac{3}{4}\).
Tìm cả ngoặc (hoặc bỏ ngoặc) trước, được \(x = \dfrac{1}{4}\). Thử \(x = \dfrac{3}{4}\): \(\dfrac{2}{3} - \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{1}{6}\).
Ghi nhớ
QUA DẤU "=" THÌ ĐỔI DẤU · CHỈ CHUYỂN SỐ HẠNG · THỪA SỐ THÌ CHIA (KHÁC 0)
🎯 Liên hệ đề thi
Trong 4 đề kiểm tra HK1 gần đây (2022–2023 đến 2025–2026) của trường chuyên Trần Đại Nghĩa, Bài 1 và Bài 2 (4 điểm) đều là "thực hiện phép tính từng bước" và "tìm \(x\)". Hai lỗi dễ mất điểm ở hai bài này là sai thứ tự phép tính và quên đổi dấu khi chuyển vế.
Tổng kết
Sáu điều cần nhớ
- Ngoặc trước, bóc từ trong ra ngoài \((\;) \to [\;] \to \{\;\}\); rồi lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ.
- Các phép cùng cấp (nhân với chia, cộng với trừ): làm từ trái sang phải.
- Chuyển một số hạng sang vế kia: đổi dấu (vì cộng, trừ cùng một số ở hai vế).
- \(x\) đứng sau dấu trừ hoặc nằm trong ngoặc: coi cả số hạng đó (cả ngoặc) là một khối mang dấu "−".
- Thừa số không chuyển vế; muốn bỏ thừa số thì chia cả hai vế cho thừa số đó (khác 0).
- Tính xong, tìm xong: thay lại để kiểm tra.
Vì sao nhân phải làm trước cộng?
Đó là quy ước chung của toán học để mọi người đọc một biểu thức cho cùng một kết quả. Ví dụ \(2 + 3 \cdot 4 = 14\); nếu muốn cộng trước thì phải viết ngoặc: \((2 + 3) \cdot 4 = 20\).
Chuyển vế có làm thay đổi đẳng thức không?
Không. Chuyển vế chỉ là cộng (hoặc trừ) cùng một số ở hai vế, nên hai vế vẫn bằng nhau; giá trị \(x\) tìm được không đổi.
\(x\) xuất hiện ở cả hai vế thì làm sao?
Chuyển mọi số hạng chứa \(x\) sang một vế, các số còn lại sang vế kia, rồi dùng tính chất phân phối để gộp. Ví dụ \(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3}\):
\(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\), tức \(\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}\right)x = \dfrac{5}{6}\), hay \(\dfrac{1}{6}x = \dfrac{5}{6}\).
Vậy \(x = \dfrac{5}{6} : \dfrac{1}{6} = 5\). Thử lại: \(\dfrac{2}{3} \cdot 5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{6}\) và \(\dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{6}\) ✓.