Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) \(\widehat{B_2} = \widehat{A_4} = 50^\circ\) (\(a \parallel b\), so le trong).

\(\widehat{B_3} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{B_2}\)).

\(\widehat{B_1} = \widehat{B_3} = 130^\circ\) (đối đỉnh).

b) \(CA \parallel Oy\), cát tuyến Ox: \(\widehat{ACx} = \widehat{xOy} = 65^\circ\) (đồng vị).

\(BA \parallel Ox\), cát tuyến AC: \(\widehat{BAC} = \widehat{ACx} = 65^\circ\) (so le trong).

Góc kề bù với \(\widehat{BAC}\) bằng \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).

c) Hai mép song song, đường cưa là cát tuyến: góc đồng vị bằng \(58^\circ\).

Góc kề bù với nó bằng \(180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\).

Đáp số: a) \(50^\circ\); \(130^\circ\); \(130^\circ\); b) \(65^\circ\); \(115^\circ\); c) \(58^\circ\); \(122^\circ\)

Lời giải:

Gọi Ax là tia đối của tia AB.

\(\widehat{xAD} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\) (kề bù với \(\widehat{BAD}\)).

\(a \parallel b\), cát tuyến AD: \(\widehat{D_1} = \widehat{xAD} = 75^\circ\) (đồng vị).

\(\widehat{B_1} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\) (kề bù với \(\widehat{ABC}\)).

\(a \parallel b\), cát tuyến BC: \(\widehat{BCD} = \widehat{B_1} = 55^\circ\) (đồng vị).

Kiểm tra lại: \(\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 125^\circ + 55^\circ = 180^\circ\) ✓ (trong cùng phía bù nhau).

Đáp số: \(\widehat{D_1} = 75^\circ\); \(\widehat{B_1} = 55^\circ\); \(\widehat{BCD} = 55^\circ\)

Lời giải:

\(Ct \parallel Ox\), cát tuyến Oy: \(\widehat{yCt} = \widehat{xOy} = 50^\circ\) (đồng vị; tia Cy là phần tia Oy kể từ C).

\(\widehat{OCt} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{yCt}\)).

\(\widehat{OCm} = 130^\circ : 2 = 65^\circ\) (Cm là tia phân giác của \(\widehat{OCt}\)).

Kiểm tra lại: \(\widehat{xOy} + \widehat{OCt} = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\) ✓ (trong cùng phía bù nhau).

Đáp số: \(50^\circ\); \(130^\circ\); \(65^\circ\)

Lời giải:

a) c vuông góc với a, mà \(a \parallel b\), nên \(c \perp b\) (vuông góc với một trong hai đường thẳng song song).

b) \(a \perp c\) và \(d \perp c\), a khác d, nên \(a \parallel d\) (cùng vuông góc với c).

\(b \parallel a\) và \(d \parallel a\), b khác d, nên \(d \parallel b\) (cùng song song với a).

Kết luận: a) \(c \perp b\); b) \(d \parallel b\)

Lời giải:

\(\widehat{MAB} = \widehat{AMx} = 50^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AM), nên \(AB \parallel xy\).

\(\widehat{AMy} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) (kề bù với \(\widehat{AMx}\)).

\(\widehat{MAC} = \widehat{AMy} = 130^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AM), nên \(AC \parallel xy\).

Qua A có hai đường thẳng AB, AC cùng song song với xy, nên chúng trùng nhau (tiên đề Euclid).

Vậy B, A, C thẳng hàng.

Kết luận: B, A, C thẳng hàng

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang phải.

Vì \(AB \parallel DE\) nên \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).

\(\widehat{BCm} = \widehat{ABC} = 32^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), so le trong).

\(\widehat{mCE} = \widehat{CED} = 46^\circ\) (\(Cm \parallel DE\), so le trong).

Tia Cm nằm giữa hai tia CB, CE, nên \(\widehat{BCE} = 32^\circ + 46^\circ = 78^\circ\).

Đáp số: \(\widehat{BCE} = 78^\circ\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cx song song với AB, hướng sang phải.

\(\widehat{BCx} = \widehat{ABC} = 25^\circ\) (\(Cx \parallel AB\), so le trong).

Tia Cx nằm giữa hai tia CB, CD, nên \(\widehat{xCD} = 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ\).

Qua D kẻ tia Dy song song với AB, hướng sang trái.

Khi đó \(Dy \parallel Cx\) (cùng song song với AB).

\(\widehat{CDy} = \widehat{xCD} = 40^\circ\) (\(Dy \parallel Cx\), so le trong).

Tia Dy nằm giữa hai tia DC, DE, nên \(\widehat{yDE} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ\).

Đến E: \(Dy \parallel EF\) (cùng song song với AB), nên \(\widehat{DEF} = \widehat{yDE} = 30^\circ\) (so le trong).

Đáp số: \(\widehat{DEF} = 30^\circ\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang trái (về phía B, E).

Khi đó \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).

\(\widehat{ACm} + \widehat{CAB} = 180^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), trong cùng phía), nên \(\widehat{ACm} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).

\(\widehat{mCD} + \widehat{CDE} = 180^\circ\) (\(Cm \parallel DE\), trong cùng phía), nên \(\widehat{mCD} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

Tia Cm nằm giữa hai tia CA, CD, nên \(\widehat{ACD} = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ\) (Hình 10).

Đáp số: \(\widehat{ACD} = 120^\circ\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang phải (về phía B, E).

Khi đó \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).

\(\widehat{ACm} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), trong cùng phía với \(\widehat{BAC}\)).

\(\widehat{mCD} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) (\(Cm \parallel DE\), trong cùng phía với \(\widehat{CDE}\)).

Tia Cm nằm giữa hai tia CA, CD, nên \(\widehat{ACD} = 65^\circ + 80^\circ = 145^\circ\).

Đáp số: \(\widehat{ACD} = 145^\circ\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang trái.

\(\widehat{ACm} = \widehat{BAC} = 40^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), so le trong).

Tia Cm nằm giữa hai tia CA, CD, nên \(\widehat{mCD} = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\).

\(\widehat{mCD} = \widehat{CDE} = 60^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên \(Cm \parallel DE\).

\(AB \parallel Cm\) và \(DE \parallel Cm\), nên \(AB \parallel DE\) (Hình 12).

Kết luận: \(AB \parallel DE\)

Lời giải:

Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng sang phải.

\(\widehat{ACm} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\) (\(Cm \parallel AB\), trong cùng phía với \(\widehat{BAC}\)).

Tia Cm nằm giữa hai tia CA, CD, nên \(\widehat{mCD} = 130^\circ - 55^\circ = 75^\circ\).

Gọi Cn là tia đối của tia Cm.

\(\widehat{nCD} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\) (kề bù với \(\widehat{mCD}\)).

\(\widehat{nCD} = \widehat{CDE} = 105^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến CD), nên \(Cm \parallel DE\).

\(AB \parallel Cm\) và \(DE \parallel Cm\), nên \(AB \parallel DE\) (Hình 13).

Kết luận: \(AB \parallel DE\)

Lời giải:

Tia CE nằm giữa hai tia CB, CD, nên \(\widehat{BCD} = 25^\circ + 30^\circ = 55^\circ\).

\(\widehat{ABC} = \widehat{BCD} = 55^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến BC), nên \(AB \parallel CD\).

Gọi Ex là tia đối của tia EF.

\(\widehat{CEx} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) (kề bù với \(\widehat{CEF}\)).

\(\widehat{CEx} = \widehat{ECD} = 30^\circ\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến CE), nên \(EF \parallel CD\).

AB và EF cùng song song với CD, nên \(AB \parallel EF\).

Kết luận: \(AB \parallel EF\)

Lời giải:

\(AB \perp AC\), \(CD \perp AC\), AB khác CD, nên \(AB \parallel CD\) (cùng vuông góc với AC).

X, y là hai góc trong cùng phía, nên \(x + y = 180^\circ\).

a) Thay \(x = 2y\)

\(3y = 180^\circ\)

Nên \(y = 60^\circ\)

\(x = 120^\circ\).

Thử lại: \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) ✓.

b) Từ \(4x = 5y\)

X gồm 5 phần thì y gồm 4 phần như thế.

Tổng 9 phần bằng \(180^\circ\), mỗi phần \(20^\circ\).

Vậy \(x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ\)

\(y = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ\).

Thử lại: \(4 \cdot 100^\circ = 400^\circ = 5 \cdot 80^\circ\) ✓

\(100^\circ + 80^\circ = 180^\circ\) ✓.

c) Tổng \(180^\circ\), hiệu \(30^\circ\)

\(x = (180^\circ + 30^\circ) : 2 = 105^\circ\)

\(y = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).

Thử lại: \(105^\circ - 75^\circ = 30^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(120^\circ\), \(60^\circ\); b) \(100^\circ\), \(80^\circ\); c) \(105^\circ\), \(75^\circ\)

Lời giải:

\(a \parallel b\) nên hai góc đồng vị bằng nhau: \(4x - 30^\circ = 2x + 40^\circ\).

Suy ra \(2x = 70^\circ\)

\(x = 35^\circ\).

Thử lại: \(4 \cdot 35^\circ - 30^\circ = 110^\circ\)

\(2 \cdot 35^\circ + 40^\circ = 110^\circ\) ✓.

Đáp số: \(x = 35^\circ\); mỗi góc \(110^\circ\)