HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 20 cho em tỉ lệ thức: hai tỉ số bằng nhau. Bài này đi tiếp một bước: khi nhiều tỉ số bằng nhau, ta cộng (trừ) các tử và các mẫu mà tỉ số chung không đổi. Đây là công cụ chính để chia một đại lượng theo tỉ lệ, dạng gần như luôn có trong đề kiểm tra học kỳ II. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Giải thích và dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (cả dãy ba tỉ số).
- Tìm hai, ba số biết tỉ số của chúng và tổng, hiệu, hoặc một biểu thức có hệ số.
- Đưa các dạng \(ax = by = cz\), "hai tỉ lệ thức nối nhau" về một dãy tỉ số.
- Dùng kỹ thuật đặt \(k\) khi đề cho tích, bình phương, và để chứng minh tỉ lệ thức.
- Giải bài toán thực tế "chia theo tỉ lệ": số học sinh, số cây, số đo góc, tiền thưởng.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Tỉ lệ thức Lớp 7 · Bài 20
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (\(b, d \ne 0\)) thì \(a \cdot d = b \cdot c\). Ví dụ \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}\) vì \(3 \cdot 10 = 5 \cdot 6\).
2. Tính chất cơ bản của phân số Lớp 6
Nhân (chia) cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì phân số không đổi: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{6}\).
3. Tỉ số chung \(k\)
Nếu \(\dfrac{a}{b} = k\) thì \(a = b \cdot k\) (số bị chia = số chia × thương). Ví dụ \(\dfrac{a}{5} = 3\) thì \(a = 15\).
1Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Lớp 7
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a - c}{b - d}\)
Các mẫu đều khác 0 (\(b \ne d\) và \(b \ne -d\)).
Dãy tỉ số bằng nhau: hiểu \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Thùng sơn thứ nhất có 2 cốc cam, 3 cốc xanh
Thùng thứ hai 4 cốc cam, 6 cốc xanh.
Hai tỉ số \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\)
Hai thùng cùng một màu (Hình 1).
- Bước 2
Gộp lại. Đổ chung hai thùng: \(2 + 4 = 6\) cốc cam, \(3 + 6 = 9\) cốc xanh.
Màu không đổi, nên \(\dfrac{2 + 4}{3 + 6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).
- Bước 3
Vì sao luôn đúng. Gọi tỉ số chung là \(k\)
\(a = b \cdot k\)
\(c = d \cdot k\).
Khi đó \(a + c = b \cdot k + d \cdot k = (b + d) \cdot k\)
Nên \(\dfrac{a + c}{b + d} = k\).
Trừ cũng vậy: \(a - c = (b - d) \cdot k\).
- Bước 4
Thử lại bằng số. Lấy thùng hai bớt thùng một: \(\dfrac{4 - 2}{6 - 3} = \dfrac{2}{3}\) ✓.
Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a + c + e}{b + d + f} = \dfrac{a - c + e}{b - d + f} = \ldots\) (giả thiết các mẫu khác 0). Cộng hay trừ tử thế nào thì cộng hay trừ mẫu đúng như thế.
Ví dụ: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10}\), nên \(\dfrac{1 + 3 + 5}{2 + 6 + 10} = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}\) ✓.
Cách nói "tỉ lệ với"
"\(x, y, z\) tỉ lệ với \(2; 3; 4\)" hay "\(x : y : z = 2 : 3 : 4\)" đều có nghĩa là \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\).
Từ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) suy ra \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}\) ("nhân tử với tử, mẫu với mẫu cũng được").
Chỉ được cộng, trừ. Thử: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) nhưng \(\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 6} = \dfrac{1}{4} \ne \dfrac{1}{2}\). (Thật ra \(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2\).)
2Nhân hệ số cho khớp với đề Lớp 7
Đề thường cho một biểu thức có hệ số như \(2x + 3y - z\). Muốn tử của tỉ số chung đúng bằng biểu thức đó, ta nhân cả tử và mẫu của từng tỉ số với hệ số tương ứng (tính chất cơ bản của phân số), rồi mới cộng trừ (Hình 2).
Ví dụ. Tìm \(x, y, z\) biết \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) và \(2x + 3y - z = 39\). Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{6}\), \(\dfrac{y}{4} = \dfrac{3y}{12}\), nên \(\dfrac{2x}{6} = \dfrac{3y}{12} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{2x + 3y - z}{6 + 12 - 5} = \dfrac{39}{13} = 3\). Vậy \(x = 3 \cdot 3 = 9\); \(y = 4 \cdot 3 = 12\); \(z = 5 \cdot 3 = 15\). Kiểm tra lại: \(18 + 36 - 15 = 39\) ✓.
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{2x + 3y - z}{3 + 4 - 5}\) (nhân hệ số vào tử mà quên nhân vào mẫu).
Mẫu cũng nhân hệ số: \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 5 = 13\), không phải \(3 + 4 - 5 = 2\).
3Kỹ thuật đặt \(k\) Lớp 7
Đặt tỉ số chung là một chữ
Từ \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) suy ra \(x = a \cdot k\), \(y = b \cdot k\). Thay vào điều kiện của đề để tìm \(k\).
Khi nào dùng?
- Đề cho tích hoặc bình phương (\(xy = 48\), \(x^2 - y^2 = 84\)): dãy tỉ số chỉ cộng trừ được, không nhân được.
- Chứng minh tỉ lệ thức: thay \(a = bk\), \(c = dk\) vào hai vế, rút gọn để thấy hai vế bằng cùng một biểu thức.
Ví dụ. Tìm \(x, y\) biết \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3}\) và \(xy = 48\). Đặt \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3} = k\): \(x = 4k\), \(y = 3k\); \(xy = 12k^2 = 48\); \(k^2 = 4\), nên \(k = 2\) hoặc \(k = -2\). Được \(x = 8, y = 6\) hoặc \(x = -8, y = -6\) (Hình 3).
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{xy}{4 \cdot 3} = \dfrac{48}{12} = 4\), ra \(x = 16\), \(y = 12\).
Không có tính chất "nhân tử, nhân mẫu". Thử lại: \(16 \cdot 12 = 192 \ne 48\). Phải đặt \(k\): \(k^2 = 4\), \(k = \pm 2\).
🔗 Liên kết
Bài toán "tổng – tỉ" ở lớp 5 (vẽ sơ đồ đoạn thẳng, chia tổng cho tổng số phần) chính là dãy tỉ số bằng nhau: "giá trị một phần" là tỉ số chung \(k\). Bài 22, 23 (đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch) dùng đúng công cụ này cho bài toán chia theo tỉ lệ.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) thì bằng tổng (hiệu) các tử chia tổng (hiệu) các mẫu tương ứng, mẫu khác 0.
- \(x : y : z = 2 : 3 : 4\) nghĩa là \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\).
- Biểu thức có hệ số: nhân hệ số vào cả tử và mẫu rồi mới cộng trừ.
- Không có tính chất nhân: \(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} \ne \dfrac{a}{b}\) nói chung. Đề có tích, bình phương thì đặt \(k\).
- Tìm xong phải thay lại vào đề để thử.
Vì sao cần điều kiện mẫu khác 0?
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{-2}\), nhưng tổng hai mẫu \(2 + (-2) = 0\): tỉ số \(\dfrac{1 + (-1)}{2 + (-2)} = \dfrac{0}{0}\) không có nghĩa. Khi chọn cộng hay trừ, em phải chắc mẫu mới khác 0.
Khi nào dùng dãy tỉ số, khi nào đặt \(k\)?
Đề cho tổng, hiệu (có thể có hệ số) thì dùng dãy tỉ số cho nhanh. Đề cho tích, bình phương, hoặc yêu cầu chứng minh thì đặt \(k\). Mọi bài dãy tỉ số cũng giải được bằng đặt \(k\), chỉ dài hơn một chút.
Đề cho \(2x = 3y = 4z\) thì sao, không thấy tỉ số nào?
Chia cả ba vế cho cùng một số chia hết cho 2, 3, 4, ví dụ 12: \(\dfrac{2x}{12} = \dfrac{3y}{12} = \dfrac{4z}{12}\), tức \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{3}\). Bây giờ đã là dãy tỉ số quen thuộc.